高中数学第2章二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式及其解法讲义新人教A版

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1、第1课时　一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的解法(重点).2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不

2、是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x

3、x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．4．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x

4、1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根＞0或y＜0的步骤画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象得等的集不式解y＞0{x

5、x＜x1_或x＞x2}Ry＜0{x

6、x1＜x＜x2}∅∅思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　)A.B.C.D．RC　[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥

7、3或x≤－.]2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　)A.　B.C．∅D．RD　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．{x

8、x>5或x<－1}　[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－5>0的解集为{x

9、x<－1或x>5}．]4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．∅　[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5

10、x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]一元二次不等式的解法【例1】　解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二

11、次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.1．解下列不等式(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.[解]　(1)∵Δ>0

12、，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为.(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4>0的解集为.(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.含参数的一元二次不等式的解法【例2】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.[思路点拨]　①对于二次项的系数a

13、是否分a＝0，a<0，a