04第四章_李雅普诺夫稳定性理论

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1、第四章动态系统的稳定性分析1稳定性基本概念2李雅普诺夫意义下的稳定性3李雅普诺夫第一法4李雅普诺夫第二法5线性定常系统渐近稳定性判别法1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定性概念2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法重点内容：李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫函数的构造线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别教学要求：研究的目的和意义：稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。要求：在受到外界扰动后

2、，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用u无关。经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据非线性系统：相平面法(适用于一、二阶非线性系统)1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。应用：自适应，最优控制，非线性控制等。主要内容：李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值

3、或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先线性化。李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造Lyapunov标量函数。一、稳定性基本概念1.自治系统：输入为0的系统=Ax+Bu(u=0)2.初态：=f(x,t)的解为初态3.平衡状态：系统的平衡状态a.线性系统第一节李雅普诺夫稳定性定义A非奇异：解唯一,平衡点只有一个令例：b.非线性系统A奇异：4.孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。系统不一定都存在平衡点；但系统也可能有多个平衡点；平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当的坐标

4、变换移到原点（针对孤立平衡点）；稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对多平衡点问题需针对各状态讨论。说明：二、李雅普诺夫意义下的稳定性定义4-2：几何意义：实际上，工程中的李氏稳定是临界不稳定无摩擦，等幅振荡定义4-3(渐近稳定)：球受外力离开平衡点,存在摩擦力时,小球最终静止在A点。几何意义物理意义定义4-4(大范围渐近稳定)：必要条件：只有一个平衡点。定义4-5(不稳定)：说明：(1)若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值应均有负实部。(2)若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个状态空间

5、中只有一个平衡点。(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。第二节李雅普诺夫间接法李氏间接法利用系统矩阵A的特征值或者说系统极点来判断系统稳定性。对非线性系统，首先要在平衡点附近线性化，得到一近似的线性化方程，然后再进行判断。一、线性定常系统的稳定性(1)李氏稳定A的约当标准形J中，实部为0的特征值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均有负实部。说明：例：李氏稳定不稳定李氏稳定李氏稳定不稳定李氏稳定(2)渐近稳定A的特征值均具有负实部。(3)不

6、稳定A的特征值中至少有一个有正实部。说明：(1)劳斯判据依然适用。(2)状态稳定(内部的稳定)与BIBO稳定(输出稳定性)。例：求A的特征值：得A特征值：不稳定例：判xe=0平衡点的稳定性。解A的特征值：对应约当块是二维。例：判xe=0平衡点的稳定性。解A的特征值：实部为0的特征值对应约当块是一维的.BIBO稳定:若输入u(t)有界，则输出y(t)也有界。称有界输入有界输出稳定。BIBO稳定性由G(s)极点决定。系统状态的稳定性由A的特征值决定。零点多项式极点多项式例：判xe=0平衡点的渐近稳定与BIB

7、O稳定。说明：渐近稳定是真正的系统稳定，包含BIBO稳定。BIBO稳定可能内部状态不稳定，不包含渐近稳定。二、非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判断时，应先线性化。高阶导数项判定法：说明：(2)并不是对所有的非线性系统都可用间接法判别;例：两个负实根，渐近稳定和有一个正实根，不稳定例：所以，系统在处不稳定实部为0，不能由A来判断稳定性第三节李雅普诺夫直接法李氏直接法通过找一个能量函数V(x)来判断系统的稳定性。如果V(x)能量减小，系统可能稳定；V(x)增大，则系统不稳定。但并不

8、是所有的系统都可以找到能量函数。一、函数的定号性例：二、二次型例：V(x)的定号性完全由P来确定。P的正负判定：通过P的主子式的正负来判断。P的顺序主子式：希尔维斯特判据例：∵P的顺序主子式都大于0∴P是正定的∴V(x)正定例：不定例：负定Lyapunov直接法通过构造能量函数来判断，建立在用能量分析稳定性的基础上。例：①若无摩擦能量不变李氏稳定②有摩擦能量减小渐近稳定能量变化始终>0不稳定例：如图所示机械系统：弹簧K，阻尼器B，质量M用V