近世代数课件--3.8 剩余类环,同态与理想

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1、§8.商(剩余类)环、同态与理想8.1商(剩余类)环的定义8.2自然同态8.3同态映射的核8.4同态基本定理8.5同态的性质8.1商(剩余类)环的定义理想在环里所占地位同不变子群在群论里所占的地位类似。(首先复习陪集及商群)给了一个环R和R的一个理想，若我们只就加法来看，R作成一个群，作成R的一个不变子群。这样的陪集作成R的一个分类。我们现在把这些类叫做模的剩余类。这个分类相当于R的元间的一个等价关系，这个等价关系是我们现在用符号即来表示（读成与模同余）。一个类包含所有可以写成的形式的元.两个元的剩余类相等的条件是：我们把所有剩余类所作成的集合叫做，即=它有一个加群

2、结构进一步,定义乘法:由于是一个理想，利用上述同余条件容易证明，上述定义的乘法的合理性,并且构成环(见定理1).这个环称为叫做环R的模的商(剩余类)环。8.2自然同态定理1假定R是一个环，是它的一个理想，是所有模是剩余类作成的集合。那么本身也是一个环，并且R与同态。证明构造映射如下:可以证明:是R到的一个同态满射，所以R与同态，并且是一个环。证完。8.3同态映射的核定义假定是一个群到另一个群的一个同态满射．的零元在之下的所有逆象所作成的的子集叫做同态满射的核,记为,即:．本节的内容完全平行与2.11.2记,[a]=a+I.它有以下性质:1.是理想2.3.4..5.记

3、,那么证明:1.分两步1)2)2-5同学自行给出.8.4同态基本定理定理2假定R同是两个环，并且R与同态，那么这里是同态满射的核.证明设是已知的同态满射,利用它构造一个映射是一个与间的映射。因为：是一个与的映射。是双射.上面的证明过程可逆,是单射;显然是一个满射，因为是满射.是一个与间的一一映射。保持运算.综上所述,是同构映射。证完。例1.设,证明是同态满射求写出的一个商环,使它与同构.例2.证明例3.证明8.5同态的性质本节的内容完全平行与2.11.4定理3在环R到环的一个同态满射这下，（ⅰ）R的一个子环的象是的一个子环；（ⅱ）R的一个理想的象是的一个理想；（ⅲ）

4、的一个子环的逆象是R的一个子环；（ⅳ）的一个理想的逆象是R的一个理想。这个定理的证明同群论里的相当定理的证明完全类似，我们把它省去。作业:P116,2,3