阶跃函数与电路的阶跃响应

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1、4.6一阶电路的单位阶跃响应4.6.1单位阶跃函数单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为(4.6-1)图4.6-1单位阶跃函数ε(t)乘以常量A，所得结果Aε(t)称为阶跃函数，其表达式为(4.6-2)波形如图4.6-2(a)所示，其中阶跃幅度A称为阶跃量。阶跃函数在时间上延迟t0，称为延迟阶跃函数。波形如图4.6-2(b)所示，它在t=t0处出现阶跃，数学上可表示为(4.6-3)图4.6-2阶跃函数图4.6-3用ε(t)表示开关动作阶跃函数的另一个重要应用是以简洁的方式表示某些信号。如图4.6-4(a)所示矩形脉冲信号，可以看成是图(b)所示两个延迟阶跃信号的叠加，即图4.6-4用ε

2、(t)表示矩形脉冲信号此外，还可用ε(t)表示任意函数的作用区间。设给定信号f(t)如图4.6-5(a)所示，如果要求f(t)在t=0时开始作用，那么可以把f(t)乘以单位阶跃函数ε(t)，如图4.6-5(b)所示。如果要求f(t)在区间(t1,t2)上的信号起作用，那么只需将f(t)乘以［ε(t-t1)-ε(t-t2)］即可，波形如图4.6-5(c)所示。图4.6-5用ε(t)表示信号的作用区间4.6.2阶跃响应电路在单位阶跃函数激励下产生的零状态响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。一般阶跃函数作用下，电路的零状态响应称为阶跃响应。单位阶跃函数ε(t)作用于电路相当于单位直流源(

3、1V或1A)在t=0时接入电路，因此对于一阶电路，电路的单位阶跃响应可用三要素法求解。如果电路结构和元件参数均不随时间变化，那么称该电路为时不变电路。对于时不变电路，其零状态响应的函数形式与激励接入电路的时间无关，称为电路的时不变性质。若用下列符号表示激励与零状态响应之间的关系：f(t)→yf(t)则时不变性质可表示为f(t-t0)→yf(t-t0)即若激励f(t)延迟了t0时间，则零状态响应的波形不变，只是在时间上同样延迟了t0，图4.6-6说明了时不变性质。图4.6-6电路的时不变性质例4.6-1如图4.6-7(a)所示电路，其激励is的波形如图(b)所示，试求电路的零状态响应uC

4、(t)。图4.6-7例4.6-1图解此题可用两种方法求解。(1)应用单位阶跃响应和电路性质求解。激励is可表示为is(t)=2ε(t)-2ε(t-2)A根据电路的线性时不变性质，其零状态响应为uC(t)=2g(t)-2g(t-2)V(4.6-4)式中g(t)为单位阶跃响应，可利用三要素法求得。因为uC(0+)=0，而在is=ε(t)作用下，其稳态值和时间常数分别为uC(∞)=6×1=6Vτ=RC=10×0.2=2s故有单位阶跃响应将g(t)代入式(4.6-4)，得零状态响应其波形如图(c)所示。(2)按电路的工作过程分区间求解。先求0＜t≤2区间电路的零状态响应再求t＞2电路的零输入

5、响应。由于t=2时电压为故有t≥2s总之，在is作用下，电容上输出电压为0＜t≤2st≥2s