2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.2量词课后导练新人教B版选修(I)

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1、2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.2量词课后导练新人教B版选修(I)基础达标1.下列存在性命题中假命题的个数是(  )①有的实数是无限不循环小数 ②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形A.0B.1C.2D.3答案:A2.下列存在性命题中真命题的个数是(  )①x∈R,x≤0 ②至少有一个整数,它既不是合数,也不是质数 ③x∈{x

2、x是无理数},x2是无理数A.0B.1C.2D.3答案:D3.下列全称命题中假命题的个数是(  )①2x+1是整数(x∈R) ②对所有的x∈R,x>3 ③对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数A.0B.1

3、C.2D.3答案:C4.下列命题为存在性命题的是(  )A.偶函数的图象关于y轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线是平行直线D.存在实数大于等于3答案:D5.下列命题正确的是(  )A.对于实数q<1,方程x2+2x+q=0有实数根B.有一个实数大于0且小于0C.不存在一个实数其相反数是它本身D.四边形的两条对角线互相垂直,则四边形为正方形答案:A6.(1)命题“x∈R,x2-x+3>0”的否定是_______.(2)命题“x∈R,x2+1<0”的否定是_______.答案:(1)x∈R,x2-x+3≤0 (2)x∈R,x2+1≥07.命题“有理数的平方

4、仍是有理数”用符号“”写成全称命题为_______.答案:x∈{x

5、x是有理数},x2∈{x

6、x是有理数}8.下列叙述正确的命题序号是_______.①x,y∈N,如果+y2=0,则x=0∧y=0;②设P(x):2x>x2,则P(4)是真命题;③“每一个向量都有方向”是命题;④若P(x):sinx>cosx为真命题,则x∈(,).解析:①中由+y2=0x=0且y=0,正确.②中P(4):24>43错误.③正确.④中x的范围是(2kπ+,2kπ+)(k∈Z)答案:①③9.用符号“”与“”表示下面含有量词的命题.(1)实数的平方大于等于0;(2)存在一对实数,使2x+3y+3

7、<0成立;(3)勾股定理.解:(1)x∈R,x2≥0.(2)(x,y),x∈R,y∈R,2x+3y+3<0.(3)以a、b、c为三条边,c为斜边的直角三角形,a2+b2=c2.10.命题“三角形的三个内角中,至少有一个角不小于60°”是全称命题吗?判断它的真假.解析:是全称命题,且为真命题,可用反证法证明:在△ABC中,假设三角内角均小于60°,则∠A+∠B+∠C<180°,这与内角和定理矛盾,原命题为真.11.命题“存在实数k<0,使方程x2+(2k+1)x+k=0有两相异实根”是存在性命题吗?判断其真假.解析:是存在性命题,且是真命题,因为任意实数k,Δ=(2k+1)

8、2-4k=4k2+1>0恒成立.12.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a、b、c,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立?解:∵f(x)的图象过点(-1,0),∴a-b+c=0.∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立,∴当x=1时也成立,即1≤a+b+c≤1,故有a+b+c=1.∴b=,c=-a.∴f(x)=ax2+x+-a,故应x≤ax2+x+-a≤对一切x∈R成立.即∴a=.∴c=-a=.∴存在一组常数:a=,b=,c=.使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立.13.(xx辽宁高考,7)在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x

9、-a)(x+a)<1对x∈R成立,求a的取值范围.解析:(x-a)(x+a)<1(x-a)[1-(x+a)]<1-x2+x+a2-a-1<0x2-x-a2+a+1>0.∵不等式对任意实数x成立,∴Δ=1-4(-a2+a+1)<0,∴-<a<.14.(经典回放)已知a>0,函数f(x)=ax-bx2.(1)当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明a≤2;(2)当b>1时,证明对任意x∈[0,1],

10、f(x)

11、≤1的充要条件是b-1≤a≤2.证明:(1)依题意设对任意x∈R都有f(x)≤1,∵f(x)=-b(x-)2+,∴f()=≤1.又∵a>0,b>0,∴a≤2.(

12、2)必要性:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1f(x)≥-1,∴f(1)≥-1,即a-b≥-1.∴a≥b-1.对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1f(x)≤1,∵b>1,可以推出f()≤1,即a·-1≤1.∴a≤2.∴b-1≤a≤2.充分性:∵b>1,a≥b-1,对任意x∈[0,1],可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1,即ax-bx2≥-1.∵b>1,a≤2,对任意x∈[0,1],可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1,即ax-bx3≤1.∴-1≤f(x)≤1.综上,当b>1时,对任意x∈[0,1],|

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