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1、第三章：LTI离散系统的时域分析Chapter3Discretesystems本章要点单位序列响应和阶跃响应FFLTI离散时间系统的响应卷积和F引言什么是线性非移变离散系统？then非移变系统then3.1LTI离散系统的响应线性系统：ifIf3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。1.差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一阶后向差分定
2、义：f(k)=f(k)–f(k–1)和称为差分算子，无原则区别。（3）差分的线性性质：[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二阶差分定义：2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)3.1LTI离散系统的响应对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两个序列值
3、的变化率。定义为3.1LTI离散系统的响应2.差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)例1：若描述某系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2y(3)=–3y(2)–2
4、y(1)+f(3)=10……一般不易得到解析形式的(闭合)解。4、变换域法（Z变换法）逐次代入求解，概念清楚，比较简便，适用于计算机，缺点是不能得出通式解答。1、迭代法2、时域经典法3、全响应＝零输入响应＋零状态响应零输入响应求解与齐次通解方法相同零状态响应求解利用卷积和法求解，十分重要求解过程比较麻烦，不宜采用。求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种全响应＝齐次通解＋特解自由响应强迫响应3.1LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f
5、(k-m)与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k)1.齐次解yh(k)3.1LTI离散系统的响应例2：一阶齐次方程的解的级数c是待定常数，有初始条件决定是个公比为齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0其特征方程为λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)称为差分方程的特征根。特征根单实根重实根齐次解不同特征根所对应的齐次解3.1LTI离散系统的响应2.特解yp(k):特解的形式与激励的形式雷同。一般情况不同激励所对应的特解激励特解cos(βk)或sin
6、(βk)Pcos(βk)+Qsin(βk)所有特征根均不等于e±jβ特征根重等于的特征根特征根特征单根重特征根3.1LTI离散系统的响应例3：若描述某系统的差分方程为y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求全解。解：特征方程为λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齐次解为yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解为yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k，P
7、=1/4特解yp(k)=2k–2,k≥03.1LTI离散系统的响应故全解为y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始条件求得C1=1,C2=–1/4。故全解为y(k)=(k–1/4)(–2)k+2k–2,k≥0yh(t)（自由响应）yp(t)(强迫响应)y(k)=yzi(k)+yzs(k)设激励f(k)在k=0时接入系统，初始状态：y(–1),y(–2),…，y(–n)初始值：y(0),y(1),y(2),…，y(n-1)由yzi(k)和yzs(k)的定义可知，其初始状态分别为yzs
8、(–1)=yzs(–2)=…=yzs(–n)=0y(–1)=yzi(–1),y(–2)=yzi(–2),…，y(–n)=yzi(–n)然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值yzi(j)和yzs(j)(j=0,1,2,…，n–1)3.1LTI离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应例4：若描述某离散系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(
