2019-2020年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试(十一)理 新人教A版

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1、2019-2020年高考数学专题复习导练测第八章立体几何阶段测试(十一)理新人教A版一、选择题1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为(  )A.B.πC.或πD.不能确定答案 C解析 cos〈m,n〉==,∴〈m,n〉=.∴两平面所成二面角的大小为或.2.(xx·广东)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是(  )A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)答案 B解析 各选项给出的向量的模都是,

2、a

3、=.对于选项A,设b=(-1,1,0),则cos〈a

4、,b〉===-.因为0°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=120°.对于选项B,设b=(1,-1,0),则cos〈a,b〉===.因为0°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=60°,正确.对于选项C,设b=(0,-1,1),则cos〈a,b〉===-.因为0°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=120°.对于选项D,设b=(-1,0,1),则cos〈a,b〉===-1.因为0°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=180°.故选B.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC1的中点,则DE与平面BCC1B1所成角的正切值为(  )A.B.C

5、.D.答案 C解析 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,以D为原点,以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空间直角坐标系,∵E为BC1的中点,∴D(0,0,0),E(1,2,1),∴=(1,2,1),设DE与平面BCC1B1所成角的平面角为θ,∵平面BCC1B1的法向量n=(0,1,0),∴sinθ=

6、cos〈,n〉

7、=

8、

9、=,∴cosθ==,∴tanθ==.4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=AA1=4,点D是AA1的中点,则点A1到平面DBC1的距离是(  )A.B.C.D.答案 A解析 过点A作AC的垂线为x轴,以AC为y轴,以AA1

10、为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=AA1=4,点D是AA1的中点,∴B(2,2,0),C1(0,4,4),D(0,0,2),A1(0,0,4),∴=(2,2,-2),=(0,4,2),=(0,0,2),设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),∵n·=0,n·=0,∴∴n=(,-1,2),∴点A1到平面DBC1的距离d===.故选A.5.如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为H,则以下命题中,错误的命题是(  )A.点H是△A1BD的垂心B.AH垂直于平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直

11、线AH和BB1所成角为45°答案 D解析 △A1BD为正三角形,其重心、外心、中心合一.∵AB=AA1=AD,∴H到△A1BD各顶点的距离相等,∴A正确;∵CD1∥BA1,CB1∥DA1,CD1∩CB1=C,BA1∩DA1=A1,∴平面CB1D1∥平面A1BD,∴AH⊥平面CB1D1,∴B正确;连接AC1,则AC1⊥B1D1,∵B1D1∥BD,∴AC1⊥BD,同理AC1⊥BA1,∴AC1⊥平面A1BD,∴A、H、C1三点共线,∴C正确,故选D.二、填空题6.若a、b是直线,α、β是平面,a⊥α,b⊥β,向量m在a上,向量n在b上,m=(0,3,4),n=(3,4,0),

12、则α、β所成二面角中较小的一个余弦值为________.答案 解析 由题意,∵m=(0,3,4),n=(3,4,0),∴cos〈m,n〉===,∵a⊥α,b⊥β,向量m在a上,向量n在b上,∴α、β所成二面角中较小的一个余弦值为.7.(xx·北京)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为________.答案 解析 取B1C1中点E1,连接E1E,D1E1,过P作PH⊥D1E1,连接C1H.∴EE1⊥平面A1B1C1D1,PH∥EE1,∴PH⊥底面A1B1C1D1,∴P到C1C的距离为C1

13、H.当点P在线段D1E上运动时,最小值为C1到线段D1E1的距离.在Rt△D1C1E1中,边D1E1上的高h==.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________.答案 解析 如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0),∴=(0,1,-1),=(1,0,-).设平面A1ED的法向量为n1=(1,y,z),则∴∴n1=(1,2,2).∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos〈n1

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