实数系基本定理等价性的完全互证

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1、万方数据第38卷第24期数学的实践与认识2008年12月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYV01．38No．24Decem．。2008，’'’·''’’'’'’、i教学园地i～tttt《tttll‘t，实数系基本定理等价性的完全互证刘利刚(激江大学数学系，濒江抗姨310027)摧萋：综合给出了实数系六个纂本定理的等价性的完全曩诞努浃，并薅纳了各种涯嚷方法的娩律。餮在把抽象的证明转化为容易掌掇的蒸率方法．关键词：实数系；连续饿；等价；极限实数系基本定理是数学分析中重要组成部分，是分析引论中极限理论的基础，也称为

2、实数系的连续挂定理。能够反浃实数连续性的定理很多，它们是彼此等价的．现有的教书

3、都是按照禁一蹶彦蒋这些定瑾进行～次循环证明就验涯?宅靛静等餐挂[i43．虽然不溺的教毒

4、对于循环证明的颓廖有辫不阏，但每一次循环证绢羲起来都叛乎没有关联，并没菘综合l胃纳其中的方法技巧．这么多相踅独立的证明使得不少学生都感到数学分析中这部分内容太抽象，难以理解．因而当遇到一个教材中没有给出的2个定理之间的等价性证明时就无从下乎．为此，在讲述这些定理的时候，我们把这些定理的相互证明详细地整理出来，并且归纳给出了这些定理的完全互证方法与规律，使学生在学习这部分

5、内容时不再感到无所适从．我艴使用的教材[1]巾绘出的实数系的六个基本定理及其描述失：l>确赛存在定理(PP．12)：上(下)有赛静菲空数集必存在唯一上(下)确界．2)递增(减)有界数列必有极限(PP。34)．3)闭区间套定理(PP．41)：设，。，j：，⋯，j。，．．·罴一串有界闭区间。j。3，2o⋯3以3∞⋯，且J。的长度IJ。I一0，称{J。)为闭区间套．则闭区间套{，。)的交n，。必不室且为单点EIl集．4)Bolzano—Weierstrass定理(PP．44)：有界数列必肖收敛子列．S)Cauchy牧敛准则(PP．299)：

6、数列{矗}数敛蝴{以}是基本数裂。s)有限开覆盖定理(PP。308)：若开区闻族{瓯}覆盖了有界闭区阉■，胡，粼麸{晓}中必可挑出有限个开区间馥，，瓯．．．·。吼同样覆盖了豳，胡：[口，6]c晓。Uo％U⋯U％．在证明之前，我们首先必须要理解这六个定理的每～个在说些什么，只簧概念清楚了，并且理解其方法，证明并不难．定理1)"-5)属于同一类型，它们都指出，在某一条件下，便有某种“点”存在，这种点分别罴确界(点)(定理1))，极限点(定理2)5))，公共点(定理3))，子列的极限点(定理4))．定理牧疆暑期：2005—06一10万方数据

7、24期刘利剐：实数系基本定理等价性的完全互证2476))是属于另一种类型，它是前5个定理的逆否形式．1教材中的证明教材Ill中完成的证明如图1所示．另外，教材中给出练习的有：4)净2)PP．453)净1)PP·47(1)1)=》6)pp．3096)净1)pp．3095)净1)pp．309我们首先回顾一下教材中给出的证明过程[1]．PP．34PP．41PP．44PP．299匕=≯(2)匕=≯(3)匕=>(4)匕=》(5)驴瑚8(6)图1教材[1]中完成的基本定理之间的证明分析：单调有界数列必收敛，事实上就是收敛到其确界．有了这个理解后，

8、就很容易利用确界存在定理1)来证明2)了：只要将确界找到，证明此确界就是数列极限即可．证明不妨设数列{z。)单调递增．由于{毛)有界，由1)知它的确界存在且有限。设为p．由上确界定义，p是{z。)的上界，即V竹∈N，z。≤p；且Ve>0，J9一e不是上界，即jⅣ，使得zⅣ>p一￡．由于{毛)单调递增，所以V苊>N，p≥毛≥zⅣ>p一￡，即lz。一卢I<￡．由极限定义可知，lim矗=卢，即{毛)收敛．H—●∞2)净3)PP．41分析：由于闭区间套的每个区间的左端点单调递增有上界，右端点单调递减有下界，即可得它们都收敛，然后利用闭区间套的

9、长度趋向零证明这两个极限相等，为所有闭区间的公共点，并且唯一性也易得证．证明设I。一■。，坟]，口。≤bn，由j什。cJ。可知口。≤a。+，，b。+。≤b。．由此可见a。十且口。≤b，，b。1r且玩≥口。，因此拿=lima。，叩=lirab。都存在，并且拿为{a。)的上确界，7为{b。)的下确界．因为lLI一以一a。一0，故叩=lira口．+lim(统一口。)=拿，这说明拿=7∈I。，^—+∞^‘●∞从而．至此已证明nJ。非空．^Il再由nLcL及IJ。l一0可知集合n，。至多包含一点．月11H=l3)净4)PP．44分析：按二等分取

10、闭区间，每个闭区间含有数列的无穷多项．由闭区间套定理套住的唯一点就是某个子列的极限．证明设{z。}是有界数列，则存在闭区间J。使得Vz。∈I。．将，，等分为左右两个闭区间，则至少有一个半区间包含{z。)中的无穷多项，取为