高中数学第1章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用学案新人教A版

《高中数学第1章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用学案新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.7.1　定积分在几何中的应用1.7.2　定积分在物理中的应用学习目标核心素养1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)通过利用定积分求解曲边梯形的面积、变速直线运动的路程和变力做功的学习，培养学生的数学建模及直观想象、数学运算的核心素养.1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)≥0S＝f(x)dxf(x)＜0S＝－f(x)dx(2)一般地，如图所示，如果在公共的积分区

2、间[a，b]上有f(x)＞g(x)，那么直线x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝[f(x)－g(x)]dx.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]　不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a

3、功为W＝F(x)dx.1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于(　　)A.(x－x3)dx　　　B.(x3－x)dxC．2(x－x3)dxD．2(x－x3)dxC　[由题意知，由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．显然S＝2(x－x3)dx.]2．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6s间的运动路程为(　　)A．46m　　　　B．46.5mC．87mD．47mB　[s＝(3t＋2)dt＝＝(54＋12)－＝46.5(m)．]3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位

4、：m)，则力F(x)所作的功为________J.14　[由题意可知，力F(x)所作的功W＝F(x)dx＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14J．]利用定积分求平面图形的面积问题[探究问题]观察图形，完成下列探究问题：1．图中阴影部分的面积能否用定积分[－(x－4)]dx表示？为什么？[提示]　不能．由定积分的几何意义可知，当x∈[0,8]时，被积函数y＝－(x－4)表示的图形如图所示：2．若以x为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？[提示]　S＝2dx＋[－(x－4)]dx.3．能否以y为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？[提示]　能．可表示为S＝dy.【例1】　(

5、1)已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为，则k＝________.(2)求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．(1)2　[由解得或故阴影部分的面积为(kx－x2)dx＝＝k3－k3＝k3＝，解得k＝2.](2)[解]　画出图形，如图所示．解方程组及得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S＝dx＋(2－x)－dx＝dx＋dx＝＋＝＋＋＝＋6－×9－2＋＝.1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图所示，已知点A，点P(x0，y0)(x0＞0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等”，则x0＝_____

6、___.[解]　由题意知×x0×＝∫x00x2dx，即x0＝x，解得x0＝或x0＝－或x0＝0.∵x0＞0，∴x0＝.2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y＝x2在点P(2,4)处的切线与曲线及x轴所围成的图形面积为S”，求S.[解]　∵y′

7、x＝2＝4，故曲线在P点处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，故所求面积S＝x2dx＋(x2－4x＋4)dx＝x3＋＝.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y2＝x，y＝2－x所围成的图形的面积．”[解]　由得或∴阴影部分的面积S＝(2－y－y2)dy＝＝－＝.求曲边梯形面积的一般步骤如下：求变速直线运动的路程【例2】　有

8、一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．[解]　(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t＞4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P移动的路程s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t