2019-2020年高二数学上学期期中试题 理（答案不全）

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1、2019-2020年高二数学上学期期中试题理（答案不全）2．已知且，则的值为（）．　A．　　　　B．　　　　　C．　　　　D．3．已知为空间两两垂直的单位向量，则（）．A．        B.   C．      D．4．以双曲线的左顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）．A．        B．         C．    D．5．已知的图象如图所示，则下列数值按从小到大的排列顺序正确的是（）．A．，，， B．， ，  ，C．，，，   D．，，，6．在三棱柱中，分别是中点，设则=（）．A．B．C．　D．7.在长方体中，和与底面所成角分别为和，，则到截面

2、的距离为（）．A．B．C．D．8.在平行六面体中，底面是矩形，则=（）．A.B.C.D.9．已知在抛物线上，为坐标原点，如果且的重心恰好是此抛物线的焦点,则直线的方程是（）．A.B.C.D.10.若函数在是增函数，则的取值范围是（）．A．B．C．D．11.已知为等边三角形，椭圆与双曲线均以为焦点，且都经过线段的中点，则椭圆与双曲线的离心率之积为（）．A．B．C． D．12.过椭圆的右顶点作斜率为的直线与椭圆的另一个交点为,与轴的交点为,若则椭圆的离心率为（）．A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

3、把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．已知函数的图象在点处切线方程为，则=．14．已知双曲线离心率为，它的一个顶点到较近的焦点的距离为，则该双曲线的渐近线方程为．15．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．16．已知在定义域是偶函数，，当时有则的解集为．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知（Ⅰ）求与方向相同的单位向量；（Ⅱ）若与单位向量垂直，求18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．

4、19．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，，点是的中点，点在边上移动.（Ⅰ）点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）证明：无论点在边的何处，都有；（Ⅲ）当等于何值时，与平面所成角的大小为．20．（本小题满分12分）设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．21．（本小题满分12分）已知函数（是常数）在处的切线斜率为-1．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明．22．（本小题满分12分)已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足．（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（Ⅱ）设

5、曲线与轴正半轴、轴正半轴的交点分别，经过点且斜率为的直线与曲线有两个不同的交点和，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．18.证明：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面．（Ⅱ）解法一：取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．为二面角的平面角．由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值为．解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则．的中点，．．故等于二面角的平面角．，所以二面角的余弦值为．19.(Ⅰ)当点为的中点时，∥平面

6、.因为在中，分别为的中点，所以∥，又平面，而平面，所以，∥平面（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则设则(Ⅲ)设平面的法向量为，由得，而，依题意与平面所成角为，所以，所以得故时，与平面所成角为20.函数的定义域为………………………………1分，………………………………4分当时，解得或；………………5分当时，解得………………………………6分所以函数在，上是增函数，在上是减函数…………8分（Ⅱ）因为在上是增函数，所以……………………12分21.，因为，所以，即（Ⅰ），当时的变化，引起的变化情况如下表-0+极小值（如果不列表，需先解导数值正负的不等式，得出的取

7、值范围，得出单调性，再得极值也可）（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知，，即所以.令，所以，即在上是增函数所以，即法二：，，令，所以，当时，，当时，所以在上是减函数，在上是增函数，所以，所以，即在上是增函数，所以，即22.（Ⅰ）由题意知是线段的垂直平分线，于是所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，所以故点的轨迹方程是：（Ⅱ）由已知知直线的斜率必存在，设直线的方程为：，将其代入椭圆方程