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《2019-2020年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.5投影变换教学案苏教版选修4-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.5投影变换教学案苏教版选修4-21．投影变换将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换．2．投影变换矩阵像，这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵．3．常见的投影变换矩阵(1)将坐标平面内的图形垂直投影到x轴上的变换矩阵为；(2)将坐标平面内的图形垂直投影到y轴上的变换矩阵为；(3)将坐标平面内的图形沿垂直于y轴方向投影到y＝x上的变换矩阵为；(4)将坐标平面内的图形沿垂直于x轴方向投影到y＝x上的变换矩阵为.[说明] 投影变换虽然是映
2、射，但不是一一映射．点或平面图形在投影变换作用下的象[例1] 已知变换T1，T2对应的矩阵分别为M＝和N＝，平面上三个点A(3,1)，B(2,3)，C(0,4)．(1)分别求直线AB，BC在T1，T2变换下得到的直线方程；(2)变换T1，T2有什么不同？[思路点拨] 二阶非零矩阵对应的变换将直线变为直线，所以只要求出A，B，C在T1，T2变换下得到的点A′，B′，C′的坐标，就可以求出直线AB，BC在T1，T2变换下得到的直线方程．[精解详析] (1)A，B，C在T1变换下变为A′(3,0)，B′(2,0)，C′(0,0)，A，B，
3、C在T2变换下变为A″(3，－1)，B″(2，－3)，C″(0，－4)．∴直线A′B′的方程为y＝0，直线B′C′的方程为y＝0，直线A″B″的方程为2x－y－7＝0，直线B″C″的方程为y＝x－4.(2)由(1)可知，直线AB：2x＋y－7＝0，直线BC：y＝－x＋4，在T1变换下得到的图像均为y＝0，在T2变换下得到两个不同的图像，所以T2是一一映射，T1不是一一映射．投影变换不仅依赖于投影的目标直线(或点)，还依赖于投影的方向．这很好理解，以树木在太阳下形成影子为例，我们把太阳光看似平行光，当在正午的时候，树木的影子会投影到树根
4、，但在清晨或者黄昏时分，投影到大地上的树木的影子就变斜了．正午时候太阳光所作的垂直投影变换对应的矩阵形式为M＝，下面我们考察太阳光所作的斜投影变换的矩阵形式，如图所示．在这样的斜投影变换下，P(x，y)→P′(x′，y′)，记k＝cotα，则P′的坐标为(x＋ky,0)，即有＝＝，所以即为这样的斜投影变换的矩阵形式，特别地，当k＝0时，即为垂直投影变换．1．已知△ABC三顶点坐标分别为A(－1,1)，B(2,0)，C(1,2)，此三角形在矩阵M＝作用下得到怎样的图形？解：因＝，＝，＝，故A、B、C三点在M作用下的象为A1(－1，－1)
5、，B1(2,2)，C1(1,1)，而A1、B1、C1三点都在直线y＝x上且C1点在线段A1B1上，故△ABC在矩阵M作用下的象是线段y＝x(－1≤x≤2)．2．研究直线3x－2y＋1＝0在矩阵对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义．解：任取直线3x－2y＋1＝0上的一点P(x0，y0)，它在矩阵对应的变换作用下变为P′(x，y)，则有＝，整理得，即.又因为点P在直线3x－2y＋1＝0上，所以3x0－2y0＋1＝0，即有3x－2(x－y)＋1＝0，即x＋2y＋1＝0.从而直线3x－2y＋1＝0在矩阵作用下变成直线x＋2y＋1＝0
6、.其几何意义是：把直线3x－2y＋1＝0上的每一点沿垂直于直线x＋2y＋1＝0的方向投影到该直线上．求投影变换矩阵[例2] 已知直线x＋y＝5在矩阵M对应变换作用下得到点(5,5)，求矩阵M.[思路点拨] 先设出变换矩阵，利用变换公式列方程求解即可．[精解详析] 设矩阵M＝，则由题意得：＝＝，即恒有ax＋by＝5，cx＋dy＝5，又因为x＋y＝5，比较得a＝b＝c＝d＝1，所以M＝.根据变换的形式或变换对应的矩阵找出对应的关系，寻找变换后图形上点的横、纵坐标关系来理解投影变换具有的特点．3．已知变换T是将平面图形投影到直线y＝3x上的
7、变换，试求它所对应的矩阵M.解：∵→＝，∴M＝.4．求直角坐标系内关于直线l：y＝kx(k≠0)的投影变换的坐标变换公式及其矩阵．解：设平面内点P(x，y)在l上投影为P′(x′，y′)，据题意解得则相应的矩阵为.1．求点A(3,1)，B(2,3)，C(3,2)在矩阵对应的变换下变成的点的坐标，并回答下列问题：(1)该矩阵把直线AB变成什么图形？(2)该矩阵把线段AC变成什么图形？解：设点A，B，C在矩阵变换作用下的点分别是A′(x1，y1)，B′(x2，y2)，C′(x3，y3)，则＝＝，∴点A′的坐标为(3,0)，同理B′(2,0
8、)，C′(3,0)．(1)易知该矩阵把直线AB变成x轴；(2)易知该矩阵把线段AC变成了一个点(3,0)．2．直线x＋y＝3在矩阵M＝对应的变换作用下变成什么图形？解：直线x＋y＝3在矩阵M＝对应变换下变成了点(3,0)
