2019-2020年高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系课堂探究新人教B版必修

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1、2019-2020年高中数学2.3圆的方程2.3.3直线与圆的位置关系课堂探究新人教B版必修探究一直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断方法:(1)(几何法)由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断;(2)(代数法)根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断;(3)(直线系法)若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.【典型例题1】(1)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则(  )A.l与C相交B.l与C相切C.l与C相离D.以上三个选项均有可能解析:(方法一)

2、圆C的方程是(x-2)2+y2=4,所以点P到圆心C(2,0)的距离是d=1<2,所以点P在圆C内部,所以直线l与圆C相交.(方法二)将点P的坐标代入圆的方程,得32+02-4×3=9-12=-3<0,所以点P(3,0)在圆内,所以过点P的直线l与圆C相交.答案:A(2)已知动直线l:y=kx+5和圆C:(x-1)2+y2=1,则当k为何值时,直线l与圆C相离?相切?相交?解:(方法一)(代数法)联立得方程组得(k2+1)x2+(10k-2)x+25=0,则Δ=(10k-2)2-4(k2+1)·25=-40k-96,所以当直线l与圆C相离时,-

3、40k-96<0,即k>-;当直线l与圆C相切时,-40k-96=0,即k=-;当直线l与圆C相交时,-40k-96>0,即k<-.(方法二)(几何法)圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径r=1.设圆心C到直线l的距离为d,则d=.当d>r,即>1时,k>-,此时直线l与圆C相离.当d=r,即=1时,k=-,此时直线l与圆C相切.当d<r,即<1时,k<-,此时直线l与圆C相交.探究二弦长问题1.直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理.2.若用代数法求弦长,请参考基础知识自主梳理中“3

4、”.【典型例题2】求直线y=x被圆(x-2)2+(y-4)2=10所截得的弦长.思路分析:求直线被圆所截得的弦长的方法:一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形,二是用弦长公式.解法一:由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d==.于是,弦长为2=2=4.解法二:联立方程y=x与(x-2)2+(y-4)2=10,得x2-6x+5=0.①设两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个根,于是由根与系数的关系,得x1+x2=6,x1x2=5,则

5、AB

6、==4.探究三圆的切线问题求过圆外一点的圆的切线的三种常用方法:(

7、1)设切线斜率,利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率;(2)设切点坐标,利用切线的性质解出切点坐标,由直线方程的两点式写出直线方程;(3)设切线斜率,利用判别式等于零,解出斜率.对第(1)和(3)两种方法应用时务必注意切线斜率不存在的情形.【典型例题3】已知直线5x+12y+m=0与圆x2-2x+y2=0相切,则m=__________.解析:由题意,得圆心C(1,0),半径r=1,则=1,解得m=8或-18.答案:8或-18探究四与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题,可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置,再进行计算.有些与圆有关的最值问

8、题涉及是否过圆心,有时注意考虑表达式中字母的几何意义,如两点间距离公式、斜率公式、在y轴上的截距等.【典型例题4】已知实数x,y满足y=,求m=及b=2x+y的取值范围.思路分析:y=可化为x2+y2=3(y≥0),即以(0,0)为圆心,半径为的半圆,m==,可看作半圆上的点与点(-3,-1)连线的斜率;b可看作与半圆相交的直线2x+y-b=0在y轴上的截距.解:y=表示以原点为圆心,半径为的上半圆,m=表示过点(-3,-1)和(x,y)的直线的斜率,如图(1)所示.图(1)   图(2)可知kAB≤m≤kAC.所以kAB==.因为AC与半圆x

9、2+y2=3(y≥0)相切,所以kAC=.所以m的取值范围是.由b=2x+y,知b表示直线2x+y-b=0在y轴上的截距,如图(2)所示.可知直线b=2x+y一定位于两直线l1与l2之间.由直线l2与半圆相切,得b=,由直线l1过D(-,0),得b=-2.故b的取值范围是[-2,].点评本题解决的关键是理解m和b的几何意义,同时要借助分界线探求参数的取值范围.探究五易错辨析易错点:因忽视斜率不存在的情况而致误【典型例题5】若直线l过点P(2,3),且与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,求直线l的方程.错解:设直线l:y-3=k(x-2),即

10、kx-y+3-2k=0.因为直线l与圆(x-1)2+(y+2)2=1相切,所以=1,所以k=.所以直线l的方程为12x-5y-9=0.错因分析:忘记讨

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