2019-2020年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值

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1、2019-2020年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值最新考纲　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用函数图象理解和研究函数的单调性．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函

2、数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”

3、或“×”)　精彩PPT展示(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(3)函数y＝

4、x

5、是R上的增函数．(×)(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)2．(xx·北京卷)下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝

6、x

7、解析　A项，函数定义域为R，但在

8、R上为减函数，故不符合要求；B项，函数定义域为R，且在R上为增函数，故符合要求；C项，函数定义域为(0，＋∞)，不符合要求；D项，函数定义域为R，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，不符合要求．答案　B3．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是(　　)A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．先递增再递减解析　作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．答案　C4．(xx·天津卷)函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是______

9、__．解析　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝lgu在(0，＋∞)上为增函数，u＝x2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f(x)在(－∞，0)上单调递减．答案　(－∞，0)5．(人教A必修1P31例4改编)f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．解析　可判断函数f(x)＝在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.答案　2　考点一　确定函数的单调性或单调区间例1试讨论函数f(x)＝

10、(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解　设－10时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

11、图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．【训练1】(1)已知a＞0，函数f(x)＝x＋(x＞0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数；(2)求函数y＝(x2－4x＋3)的单调区间．(1)证明　法一　任意取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).深度思考　证明函数的单调性问题一般有两种解法：定义法和导数法，你不妨都试

12、一试.当≥x1＞x2＞0时，x1－x2＞0,1－＜0，有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上为减函数；当x1＞x2≥时，x1－x2＞0,1－＞0，有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此时，函数f(x)＝x＋(a＞0)在[，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上为减函数；在[，＋∞)上为增函数．法二　f′(x)＝1－，令f′(x)＞0，则1－＞