2019年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵综合检测 苏教版选修4-2

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1、2019年高中数学2.4逆变换与逆矩阵综合检测苏教版选修4-21．求下列矩阵的逆矩阵．(1)A＝；(2)B＝.【解】　法一　(1)∵

2、A

3、＝1×3－2＝1，∴A－1＝.(2)∵

4、B

5、＝2×5－4×3＝－2，∴B－1＝.法二　(1)设A－1＝，则AA－1＝E，即＝＝，∴∴∴A－1＝.同理求出B－1＝.2．试从代数和几何角度分别求矩阵的乘积的逆矩阵．【解】　代数角度：＝，＝－1，∴－1＝，∴()－1＝.几何角度：矩阵对应的变换是纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即(x，y)→(x＋2y，y)，又切变变换的逆变换为切变变换．∴该切变变换的逆变换是纵坐标不变，横坐标按

6、纵坐标比例减小，即(x，y)→(x－2y，y)，故－1＝.矩阵对应的变换为关于直线y＝x的反射变换，其逆变换为其本身，故－1＝.∴()－1＝－1－1＝＝.3．已知A＝，求A－1.【解】　－1＝，－1＝，∴A－1＝－1－1＝＝.4．用矩阵方法求二元一次方程组的解．【解】　方程组可写为：＝，令M＝，则det(M)＝2×1－3×(－5)＝17，∴M－1＝，所以＝M－1＝，即方程组的解为5．设A＝，B＝.(1)计算det(A)，det(B)；(2)判断矩阵AB是否可逆，若可逆，求其逆矩阵，若不可逆，说明理由．【解】(1)det(A)＝1×3－2×(－2)＝7，det(B

7、)＝1×4－2×2＝0.(2)矩阵AB不可逆．理由如下：AB＝＝，det(AB)＝0，∴AB不可逆．6．利用行列式求M＝的逆矩阵．【解】　设矩阵M＝的逆矩阵N＝，由MN＝E得＝，即＝，故先将a，c看成未知数，则D＝＝－3，Da＝＝1，Dc＝＝－2，所以a＝－，c＝，同理可得b＝，d＝－，故所求的逆矩阵为.7．已知矩阵M＝所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．【解】　依题意，得det(M)＝＝2×(－1)－1×(－3)＝1，故M－1＝，从而由＝，得＝M－1＝＝＝，故即A(2，－3)为所求．8．m为何值时，二元一次方程组

8、＝m有惟一解？【解】　二元一次方程组即为即即＝.∵＝(－1－2m)(m＋3)＋2(7－m)＝－2m2－9m＋11，令－2m2－9m＋11＝0，得m＝1或m＝－，∴当m≠1或m≠－时，方程组有惟一解．9．已知A＝，B＝，求圆x2＋y2＝1在(AB)－1变换作用下的图形的方程．【解】　(AB)－1＝B－1A－1＝－1－1＝＝.设圆x2＋y2＝1上任一点P′(x′，y′)在(AB)－1作用下的点为P(x，y)，则＝，即＝－1＝，所以因为点P′(x′，y′)在圆x2＋y2＝1上，所以2＋2＝1，化简得4x2＋y2＝1.10．设a，b∈R，若矩阵A＝，把直线l：2x＋y－

9、7＝0变换为另一直线l′：9x＋y－91＝0，求矩阵A的逆矩阵．【解】　设P(x，y)为直线2x＋y－7＝0上任意一点，则其对应点P′(x′，y′)，且满足＝＝，即∵P′在直线l′：9x＋y－91＝0上，∴9ax－x＋by－91＝0，即(9a－1)x＋by－91＝0.∵＝＝＝13，∴b＝13，a＝3，∴A＝.∵det(A)＝13×3－(－1)×0＝39，∴A－1＝＝.