对称性在振动和波问题中的运用

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1、对称性在振动和波问题中的运用江苏省靖江M季市中学范晓波对称性是简谐振动和简谐波的重要特性，而在处理实际问题时，这一特性往往会被它们的另一重要特性一一周期性所冲淡，不被学生重视，以至于对一些考査对称性方面的问题，学生感觉很棘手。事实上对称性、周期性是反映振动和波本质的两大特性，两者相辅相成，相得益彰。对称性在简谐运动和简谐波中普遍存在，描述质点振动的一切表征量如冋复力、加速度、速隊吋间、能量等都具有对称性。下而列举儿例来说明一下对称性在具体问题屮的应用。一、对称性在简谐振动中的应用例1一弹簧振子做简谐运动，周期为丁，则（）A.若（时刻和°+山）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则山一定等于

2、772的整数倍I）.若2时刻和'+加）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则山一定等于T的整数倍C.若Az=7/2，则在*时刻和（'-△'）时刻弹簧的长度一定相等D.若&贝恠$时刻和（‘一加）时刻振子运动的加速度一定相同分析：此题是简谐运动屮对称性运川的一个典型范例。分析过程屮务必注意不能将考察点放在特殊位置，即平衡位置或端点处。rh过程的对称性可知，振子相邻两次经过同一点时，运动的速度大小相等、方向相反。如图可得A错。V如图，两位置关于平衡位置对称，振子运动的位移的大小和等、方向相反，可知B错。XX同上图，AZ=T/2前后弹簧可以分别处于压缩状态和伸长状态，弹•簧实际长度并不相等。因此D

3、错。也=7前后，振子恰好完成一次全振动，即t时刻和(LZU)时刻振子的振动状态完全相同,所以D正确。解：。选项正确。说明：选择一般位置作为考察点，利用排除法进行分析，是处理此类振动问题的常丿IJ手段和方法。例2如图所示，两木块的质量分别为血、加，屮间弹簧的劲度系数为尤，弹簧下端与M连接，豹与弹•簧不连接，现将刑下压一段距离后释放，它就上下做简谐运动,振动过程中加始终没冇离开弹簧，试求：(1)加振动的振幅的最大值;(2)喘以最大振幅振动时，M对地面的最大压力。分析：^与弹簧没有相连接，即将脱离的临界状态是：在最高点两者接触不挤压。该状态下，弹簧恰好没有形变。豹到达最低点时M对地的压力最大，根据

4、对称性可知：①最低点与平衡位置间距离和最高点与平衡位置间距离相等；②血在最低点具有竖ft向上的加速度（大小为團）。解：（1）在平衡位置吋，设弹簧的压缩量为,则有：%=牠耍使陀振动过程中不离开弹赞，m振动的故高点不能高于弹簧的原长处，所以陀振幅的最大值°k。（2）妙以最大振幅4振动时，山对称性可知，最低点弹簧的压缩量为2x°o对必受力分析，根据平衡条件得：=Mg+k-2x0=Mg+k•-Mg+2mgk由丫顿第三定律得，M对地面的压力FN="g+2mg说明：求解物体对地面的压力的问题一般可以转化为超失重问题。在利用对称性得到“陀在最低点具有竖直向上的加速度（大小为E）”后，对整体运用超失重观点：

5、压力二整体重力+超重的量-失重的量，即=（M+m）g+ma=（M+m）g^mg=Mg+2mg（注：此处材超重，M既不超重也不失重），可以更方便地求解出结果。例3如图所示，自由下落的小球下落一段时间后与弹簧接触，当弹簧被压缩到最短时，小球的加速度人小为（）（设重力加速度人小为盘）0!：汁■:严嫡刖A.小于MB.等于€C.大于£D.无法判断分析：若小球与弹簧接触后立即与弹簧粘合在一起，那么小球以后将做简谐运动，而现在，至少在小球反弹离开弹簧前，小球的运动可看成简谐运动的一部分，仍然可以考虑利用简谐运动的对称性。如图，小球在接触点尸仅受重力，加速度大小为根据振动的对称性，小球在刘・称点厂的加速度大

6、小也为盧，从对称点厂到瑕低点必，弹•簧压缩量进一步增加，弹•力进一步增加，小球加速度也随之增大，所以小球在最低点的加速度大小应大于重力加速度Mo解：°选项正确。说明：熟悉弹簧振子、单摆等典型振动的基木特性，在类似问题屮灵活地加以迁移运用，可以将复杂的问题简单化，快速而又准确地找到最后的结果。二、对称性在简谐波中的应用例4如图所示，$为上下振动的波源，振动频率为I。。居，所产牛的横波左右传播，波速为8°恥，巴汕、°两质点距波源S的距离为恥=174®確二16.2加。当S通过平衡位置向上振动时，P、。两质点的位置是（）A.戸在波峰，°在波谷B.都在波峰C.都在波谷D.P在波峰，。在波峰分析：&产生

7、的机械波向左、右均匀传播，两侧的传播过程关于$对称。利用笙（恥）间距离与波长的关系可判断出。（P）点振动状态；或者借助对称点。先判断出尸、。振动状态Z间的关系，然后再判断戸、。两点中任意一点的振动状态。解：如图，设。是。关于S的对称点,则Q"恥-颱=17.4-16.2=1.2（加）匕—__=]_而A80/10022,即可知°与P的振动反相，则Q屮的振动也反相。所以占、c两选项可首先排除。^=-^=—=20丄S