四、问题探究型——高考数学创新题型之赏析

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1、问题探究型创新题形式多、难度大，在解答时要通过分析、探究，抓住有限的或隐含的条件,通过联想综合性的知识设计出解决问题的方式或探究出解决问题的数学思想,是考查学生数学素养和应用能力的主要和重要题型。纵观近几年高考，这类问题具体有三种题型：存在性探究问题、设计型探究问题以及公式推导型探究问题。存在性探究问题（08年江苏）18、设平面直角坐标系“y中，设二次函数f（x）=x2+2x+b（xeR）的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与〃无关）？请证明你的结论。解析点评

2、本题属于存在性探究型创新题，由于解题方向不明，自由度尢故能很好考查考生的应变能力、思维能力和创新意识，体现新课程改革精神。（08广东文）11、这个题目综合考察了圆锥曲线。通过一个共同的参数b,联系了椭圆和抛物线。第二问最具创新性，综合考察了学生的数形结合能力。图620.设b>0,椭圆方程为未+缶=1，抛物线方程为x2=8（y-&）,如图6所示，过点F（0,b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点£o（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在

3、点1）,使得ABP为直角三角形？若存在，请指岀共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。（存在性探究问题）解析点评设计型探究问题（09宁夏理）17、为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平而内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图屮标出）；②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤。—41解析点评（09福建理）18、如图，某市拟在长为8km的道路OP的-•侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM,

4、该曲线段为函数y=Asin^x（A>0,0>O）xw[O,4]的图象，且图象的最高点为S（3,2a/3）；赛道的后一-部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全，限定ZMNPT20"（I）求A,血的值和M,P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长?解析点评主要考杳三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考杏运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想。（????）19、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的伦船上，在小艇出发吋，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A

5、处，并正以30海里/小吋的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过f小时与轮船相遇。（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的人小应为多少？（II）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小吋，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小)，便得小艇能以最用吋间少轮船相遇，并说明理由。解析解法一：(I)设相遇吋小艇航行的距离为S海里，则S=J900尸+400-2•30f•20•cos(90‘一30°)「900—600/+400^900(/-

6、)2+300故当V时,Sinin=10a/3，此时V二斗3=30^3即，小艇以30巧海里/小时的速度航行，相

7、遇时小艇的航行距离最小。(11)设小艇与轮船在B出相遇，则v2/2=400+900/$-2•20•30八cos(90°-30°)故/=900-型+400•••0

8、C处相遇。在RtAOAC屮，OC=20cos3(T=10巧，AC=20sin30°=10又AC=30/,OC=vtl此时’轮船航彳亍时间，哙冷即，小艇以30巧海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。（II）猜想卩二30吋，小艇能以最短时间与轮船在D出相遇，此时AD=DO=30f2又ZOAD=60°,所以AD=DO=OA=20f解得t=-3据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小吋，小艇能以最愆吋间为轮船和遇证明如下:如图，由（I）得OC=loV3,4C=10,故OC>ACfn.对于线段ACk任意点P,有OP>OC>A

9、C而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,故小艇与轮船不可能在A,CZ间（包