数学思维的辩证运用

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1、2数学思维方式的辩证运用具体的数学思维过程往往不是一种思维方式的运用，而是一些数学思维方式的冇机结合。要正确的数学思维，获得数学知识和解决数学问题，就要使思维进程符合客观运动规律。因此，主体进行数学思维活动时使用科学的辩证的操作方式是发展数学思维和指导数学教学的一个重要问题。本节就从辩证观点来分析下列三对数淫思维方式各t的特点以及相互关系，从而讨论他们在数淫教学中的积极作用。这三对思维方式是：集中思维和发散思维；抽彖思维和想象思维；分析思维和直觉思维。2.1集中思维和发散思维集中思维（乂称收敛思维）是调动各种信

2、息（已知的或回忆的），按照常规习惯寻求解决问题、整理知识或总结方法的思维方式。它的特点是思路集屮,所有信息都朝着目标深入发展以生成新信息。集中思维在思维方向上具有定向性、层次性和聚合性（或收敛性），在思维内容上具有求同性和专注性。它是深刻的理解概念，正确的解决问题，完整的掌握知识系统的重要思维方式。定向思维（或正向思维）是集中思维的一种形式，它是按照常规习惯形成的沿着固定方向，采用一定的模式或方法进化型的对问题的分析思考。这种思维反映了思维过程的连续性、渐进性和联结性。由定向思维所造成的思维趋向性或专注性状态就

3、称为思维定势，它是开展有成效的思维活动的一个重要条件。思维定势再适合的条件下，一般能迅速的联想和使用已有的知识与技能来分析和解决问题，表现了止迁移作用。但是过分强调后却容易引起负迁移，表现出思维僵化、呆板等封闭性，而不能从多角度、全面的、整体的看问题。特别是在解决一些非常规的或探索性、开放性的数学问题吋就会朿手无策。因此在数学教学中培养定向思维能力应注意确立使用基本知识和应用基本技能、重视基本问题的定势以及一般的解题思维模式的定势，同时要交给学生对于具体问题具体分析的辩证思想和方法。z、3例1己知cos均臥獗短

4、城（a+b）=亍abab分析通常按习惯的定势思考，接一个三角方程需耍将方程左边化为积的形式，右边化为零，以便分解为若干个基木方程求解。由此就可利用和差化积等公式变形为：ra+ba-b2a^b,32coscos2cos1=—2222借此思路前进，不难获得下述形式：a+b.a.b1cossin—sin—=-2228但并不能达到分解为基本方程的口的，从而定向思维受阻。但若能注意到具体问题的特点，在本题中是一个方程包含两个自由变量，它在一般情况下是不可解的。即通常要冇两个方程才能确定两个自由变量，使其成为稳定系统。由此

5、可以设想，这个方程或具有不定解；或者是属于特殊形式一一能够通过配方等变换一分为二使其木质显露，揭示它在不稳定的表面下隐含的稳定关系的实质。循其思路，就可将2cosa+b"T"a+ba-b宀2cos2cos22进行配方，化为=0(或用判别式法，视cos出为未知数)2于是必有：'a+b1a-b八cos^--cos^=0»=方=60。I2值得注意的一点是定向思维可以解决人量的常规数学问题。虽然解决的过程冇简单和复杂之分，所用的知识或技巧有单一与综合程度的不同，但是常见的题型，基木知识和方法的运用，总是表现出大同小异。

6、因此，培养定向思维能力是数学屮起始的、大量的、带冇基础性的教学目标Z-O没冇熟悉的定向思维就不可能进一步发展变异的发散思维。这种辩证关系要全而理解才不会轻视定向思维的重要作用。即既要看到它的消极面，也要看到它的积极作用，而且应注意积极面是其主要的方面。这种解题实例在数学教学中俯拾即是。例2对于自然数n求证丝被輪险後-8()3“-464"+261"1897分析由于1897=7x271,我们可以设立屮途点——两个并列的小口标,即A能被7整除，同时A也能被271整除。如果两个小目标达到了，由于7与271互质，合并起來

7、就证明了木题。事实上，A=(2903”—803”)一(464"-261")前一个括号含有因式2903-803二2100二3x700,后一个括号含有因式464-261=203=7x29,故A能被7整除。类似的，rflA=(2903”-803")-(464"-261”),前一个括号含有因式2903-464=2439=271x9,后一个扌舌号含有因式803-261=542=271x2,故A乂能被271整除。发散思维（又称辐射思维）是对已知信息进行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题，探索新知识或发

8、现多种解答和多种结果的思维方式。它的特点是思路广阔，寻求变异，对已知信息通过转换或改造进行扩散派生已形成各种新信息。发散思维在思维方向上具有逆向性、侧向性（或横向性）和多向性。在思维内容上具有变通性和开放性。它对推广问题、引申旧知识、发现新方法等具冇积极的开拓作用，因此创造能力更多地寓于发散思维之屮。逆向思维是发散思维的一种重要形式。它是从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题表现为逆