递推数列求通项公式的解法探究

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1、2010年浙江省优秀教育教学论文评选递推数列求通项公式的解法探究递推数列求通项公式是高考和数学竞赛的热点更是广人考生比较头疼的考点Z—・随着新课程改革的推进，越来越多的高等数学知识进入高中课程，也进入高考，这就需要我们从高观点的角度出发寻找高等数学与中学数学的结合点，提高中学数学教学的深度.笔者有幸担任学校数学竞赛班的辅导工作,在教学屮，积累了一些经验，因此静下心来写成文章，以便与广大教育工作者交流。递推数列按递推式所含数列连续项的个数可作如下分类：由两个连续项之间的关系式陥严gJZN冷和初始项⑷所确定的数列，叫做一阶递推数列；由三

2、个连续项之间的关系式d”+2=f(an+］,an)(ngN*)和两个初始项⑷，①所确定的数列，叫做二阶递推数列；依此类推。下面就一阶递推数列、二阶递推数列的常见类型给出常系数线性与非线性递推数列、分式型递推数列等通项公式的一般解法。探究一：一阶递推数列一、阶差法：形如：an+1=an+f(n)［例1］已知数列｛%｝满足4=1,求数列｛色｝的通项公式。解：an=（d“一％L

3、）+（d“_

4、一心2"…+（。2一®）+5=+1=2"-1。k=l二、迭乘法：形如an+i=f(n)an［例2］已知正数数列仏｝满足再=1,且(n+l)^+1-n

5、a^+an+［an=0,求数列仏｝的通项公式。解：・・・（〃+I）。；】一加;+〜+］勺=［（n+l）an+1-nanV（a/J+1^-an）=Q又a”>0,（料+1）。卄1=naH三、构造法:等差、等比数列是广人学生最为熟悉的两个数列，它们的通项公式己是了如指掌，因此我们可以将递推数列换元化归，把递推数列转化为与d”有关的等差或等比数列。1.形如：an+｝=pan+中pHl,pH0,qHo)［例3］已知数列血｝满足g=2,3afl+l=2an+1,求数列仏｝的通项公式。2解：将3%+［=2an+1变形为an+l+2=—(an+2)

6、,由持定系数法求得2=-197数列a-1｝是以6-1为首项上为公比的等比数列，故得心=(彳严+1。33变式：已知正数数列仏｝满足=1,an-a^=269求数列仏｝的通项公式。分析：因色〉0,所以对^.<1=26两边取以2为底的对数，得21og2陽+1+log2^=6,令仇=10g2色，则有2乞+严-仇+6,以下方法同上,可求得乞=2+(-2)2-“•故％=22*2尸2.形如：an+［=pan+中卩工1,卩工0)［例4］已知数列血｝满足4=1,a曲=3色+2・3网，求数列血｝的通项公式。解：将①屮=3色+2・3曲两边同除以3曲，可得第

7、=牛+2・・・［冬4是公差为2的等差数列，首项为鱼=丄，乞=丄+5—1).2［3/,J333“3从血解得a“=3/,_

8、+(〃一1)23"［例5］己知数列血｝满足4=1,〜+严3色+2”-1,求数列仏｝的通项公式。解：令a“+i+2("+1)=3(a“+加),由待定系数法求得2=1,•••数列｛①+对是以山+1为首项,3为公比的等比数列。故得知=2・3"—・3・形如:an+l=f(n)an+g(n)［例6］已知数列仏｝满足6Z,=1,m曲=5+2)陽+料，求数列｛%｝的通项公式。(n+2)an+n两边同除以n(n+1)(/?+2),

9、得:an（小如2」（屮+舄市'%希，勺斗由阶差法浊H-1仇=b+工k=l1(k+1)伙+2)故an二n1.四、特征根法（不动点法）:形如：%产竺4（其屮八q、八〃均为常数，且ran+hphHqr,r工0,c“）r［定理］如果数列｛込｝满足下列条件：已知⑷的值且对于neN,都有廿（其屮……均为常数,月.ph工g厂，心0,Q

10、H）,那么,可作特征方程x二匹卫・rx+h（1）当特征方程有两个相同的根2（称作特征根）时,若％=2,则an=gN;11r若6H,则an=一+兄,wN,其中仇=+（〃一1）,ngN.特别地,bn%-2p-r2当存

11、在n0eN,使方％=0时，，无穷数列｛an］不存在.（2）当特征方程有两个相异的根入、人（称作特征根）时，则①=小一入，neN,其中c”=鱼二A（上二A£）心，GN,（其中⑷丰入）・（定理的证明请读者自己a｝一兄？p-^2r完成）［例7］已知数列｛%｝满足⑷=0,,求数列仏｝的通项公式。解:X=1,构造数列｛—依定理作特征方程"士即宀屮占，解得・••数列丄是公差为・1的等差数列，首项为丄=-1［an・・—-—=—1+(/?—1)•(―1)=—n,从1伯解得a”=1——.色一1n［例8］已知数列｛色｝满足性质:对于応N®严丄匕，且％=

12、3,求｛%｝的通项2%+3公式.解：依定理作特征方程“上土，变形得2/+2—4=0,其根为2x+3人=1池2二-2.故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第(2)部分，则有泯ec”=

13、(V)fwN.(-5)"-42+(-5)〃探究二：