联想类比回归基础

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1、联想类比回归基础——化归转化的优化策略三水屮学张启凡(此文发表在[J]《屮学数学月刊》2008,4.)引子春节前，不经意看到许多人在银行“提款机”上取款，顿生感想「'提款机”内要具备足够的储备量，要有正确的操作方法，才能顺利完成取款过程.联想自己多年教学体会，学生要解好一个数学问题，与“提款机”上取款的原理不是一个道理吗？若“提款机”内的储备量不足，或提款者没掌握操作方法，或密码错误，能顺利完成提款过程吗？同理，学生的知识储备量不够，或不能找到从已知的知识储备库内有效地提取信息的方法，能解好数学问题吗？这就是常说

2、的基础与方法并重的问题.学生数学基础如何？其实就是知识的储备是否富有、基木功是否坚实？方法则是学生驾驭知识的手段与策略，帮助学生解决问题时有效地回归基础，促进知识再生与创造.学习需耍由浅入深、循序渐进不断丰富积累，才能厚积而薄发•而数学问题形形色色、千变万化，需要科学的方法与策略去解决.诗th“问渠哪得清如许，唯有源头活水来•”笔者以为系统扎实的基础知识体系就是学生解决问题的源头活水，关键策略就是联想类比冋归常态，即如何将新问题融入已有认知体系，同化顺应，寻求联系，从已有认知区域中发现解决问题的着力点.波利亚“怎

3、样解题表”屮阐述过，你知道什么与木题有关的问题吗？如想出一个更特殊的问题？一个更一般的问题？一个类似的问题•若这个问题与已有认知暂时难以建立联系，可转化条件和结论，或改变问题情境，使问题表征能唤起旧的回忆与思考，从而找出问题的切入点•事实上，许多中学数学常规问题，都有冋归基本的思维特征，一些非常态问题，通过联想类比，也可冋归常态•那么解决问题时如何联想类比，冋归常态呢？本文列举儿种常见的优化策略，与同行交流.1.联想基本函数探究解题方向复朵函数是基本函数通过初等运算或有限次的复合而成，因而将函数问题通过联想对比、

4、换元转化等化为有限个基木函数问题处理，成为中学数学的一种重要策略.例1已知/(兀)是定义在实数集上的函数,且/(x+2)[l-/(x)]=l+/(x),f(3)=a(dH0),求/(2007)的值.分析此题直接求解方向不明，若将条件化为/(兀+2)=上凹，从形式表•-/W征联想公式tan(-4-x)=,将tan兀作为几兀)的特例，可猜想/⑴是周期41-/U)函数.由于Um兀的周期为4x^/4=^,可尝试探究/⑴的周期是否为4x2=8.v/(x+4)=/[(%+2)+2]=1+/(兀+2)1—/(x+217w则心归

5、心+4)+4一詁矿g)・•・/(x)的周期为8,故/(2007)=7(8x250+7)=/(7)=i⑶a评注：这是一道抽象函数问题，一般直接入手比较困难，如从函数的形式化特征屮，联想对比，发现相关的基本函数，从基本函数着手，找到解决问题的切如点.2联想课木习题明确解答方法教材是学生第一个学习资源，是学生积累知识，重构认知，提高能力的重更支撑，同时教材中的一些典型问题与方法，成为学生H后解答问题的一种典范,也是启动学生发散思考的源头活水.例2如图』(兀),(心1,2,3,4)是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足

6、性质：“对[0,1]中任意的兀]和x2,任意2g[0,1],/[Ax：]+(1-Z)x2]<〃(兀J+(1-A)/(x2)恒成立”的只有()/,WAW厶(兀)办(兀)(A)(x),f3(x)(B)f2(x)(C)f2(x),f3(x)(D)九(兀)分析本题是一道抽象函数图像与性质关系的探索题，直接求解似乎难以入手.若针对兄的变化特征，采用特殊值法取2二丄，问题转化为2号乎扣3)+心］恒成立•这与课本习题“证明:若推)"+曲,则丄［g(Xj+g(兀2)］•”发生联系，从而找到问题的本质——函数的凸I2丿2凹性，可得

7、答案(A).3联想公式特征达成整体转化数学公式是数学概念的符号化体现，具有高度的抽彖化、形式化特征，而有的数学问题，从形式化特征分析与联想，若能和某个公式建立起联系，就帮助我们找到了问题的生长点与解决问题的切如点.例3已知旦

8、评注：三角代换的特点是以数学问题的形式表征为契机，以基本公式为出发点，以“式”换“元”或以“元”换“式”，将一些复杂的代数问题转化为简单的三角问题，提高解答效率.如x=sina,y=cosa，贝肓x2+y2=1；若f=tantz,ae,贝II有力：=sin2q,~=cos2