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《2019-2020年高考数学一轮复习不等式选讲2证明不等式的基本方法课时提升作业理选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高考数学一轮复习不等式选讲2证明不等式的基本方法课时提升作业理选修1.已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.【证明】2a3-b3-(2ab2-a2b)=(2a3-2ab2)+(a2b-b3)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a+b)(a-b)(2a+b),因为a≥b>0,所以a+b>0,a-b≥0,2a+b>0,所以(a+b)(a-b)(2a+b)≥0,所以2a3-b3-(2ab2-a2b)≥0,所以2a3-b3≥2ab2-a2b.2.(xx·长沙模拟)设函数f(x)=
2、x+a2
3、+
4、x-b2
5、
6、,其中a,b为实数.(1)若a2+b2-2a+2b+2=0,解关于x的不等式f(x)≥3.(2)若a+b=4,证明:f(x)≥8.【解析】(1)由a2+b2-2a+2b+2=0,可得(a-1)2+(b+1)2=0,故a=1,b=-1;于是有f(x)=
7、x+1
8、+
9、x-1
10、=所以f(x)≥3的解集为∪.(2)f(x)=
11、x+a2
12、+
13、x-b2
14、≥
15、a2+b2
16、=a2+b2,由于a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2=16,故a2+b2≥8,即f(x)≥8得证.【加固训练】已知实数x,y满足:<,<,求证:<.【证明】因为3
17、y
18、=
19、3y
20、=
21、2(x+y
22、)-(2x-y)
23、≤2
24、x+y
25、+
26、2x-y
27、,由题设知
28、x+y
29、<,
30、2x-y
31、<,从而3
32、y
33、<+=,所以
34、y
35、<.3.设a,b,c均为正实数,试证明不等式++≥++,并说明等号成立的条件.【证明】因为a,b,c均为正实数,所以≥≥,当且仅当a=b时等号成立;≥≥,当且仅当b=c时等号成立;≥≥,当且仅当a=c时等号成立.三个不等式相加,得++≥++,当且仅当a=b=c时等号成立.4.(xx·洛阳模拟)已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞).(1)求++的最小值.(2)求证:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.【解析】(1)因
36、为a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),所以++≥3·=3·≥3·=3·=6.当且仅当==,a=b,即a=b=且x1=x2=1时,++有最小值6.(2)方法一:因为a,b∈(0,+∞),x1,x2∈(0,+∞),由柯西不等式可得:(ax1+bx2)(ax2+bx1)=[()2+()2]·[()2+()2]≥(·+·)2=(a+b)2=x1x2,当且仅当=,即x1=x2时取得等号.方法二:因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)=a2x1x2+ab+ab+b2x1x2=x1x2(a2
37、+b2)+ab(+)≥x1x2(a2+b2)+ab(2x1x2)=x1x2(a2+b2+2ab)=x1x2(a+b)2=x1x2,当且仅当x1=x2时,取得等号.5.(xx·唐山模拟)设不等式-2<
38、x-1
39、-
40、x+2
41、<0的解集为M,a,b∈M.(1)证明:<.(2)比较
42、1-4ab
43、与2
44、a-b
45、的大小,并说明理由.【解析】(1)记f(x)=
46、x-1
47、-
48、x+2
49、=由-2<-2x-1<0,解得-50、a
51、+
52、b
53、<×+×=.(2)由(1)得a2<,b2<.因为
54、1-4ab
55、2-4
56、a-b
57、2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2
58、)=(4a2-1)(4b2-1)>0,所以
59、1-4ab
60、2>4
61、a-b
62、2,故
63、1-4ab
64、>2
65、a-b
66、.【加固训练】已知函数f(x)=
67、x-1
68、.(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8.(2)若
69、a
70、<1,
71、b
72、<1,且a≠0,求证:f(ab)>
73、a
74、f.【解析】(1)f(x)+f(x+4)=
75、x-1
76、+
77、x+3
78、=当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;当-3≤x<1时,4≥8不成立;当x≥1时,由2x+2≥8,解得x≥3.所以原不等式的解集为{x
79、x≤-5或x≥3}.(2)要证f(ab)>
80、a
81、f,即证
82、ab-1
83、>
84、a-b
85、.因为
86、a
87、<1,
88、b
89、
90、<1,所以
91、ab-1
92、2-
93、a-b
94、2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)·(b2-1)>0,即
95、ab-1
96、>
97、a-b
98、.故所证不等式成立.6.已知△ABC三边a,b,c的倒数成等差数列,证明:∠B为锐角.【证明】要证明∠B为锐角,根据余弦定理,也就是证明cosB=>0,即需证a2+c2-b2>0.由于a2+c2-b2≥2ac-b2,要证a2+c2-b2>0.只需证2ac-b2>0.因为a,b,c的倒数成等差数列,所以+=,即2ac=b(a+c).所以要证2ac-b2>0.只需证b(a+c)-b2>0,即b(a+c-b)>0.上述不等
