有限差分法求解电磁场问题

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1、计算物理理论第三章第三章有限差分法求解电磁场问题有限差分法求解电磁场问题求解静电场边值问题，当场域边界的几何形状比较简单时，其解可以用分离变量法求得。但当边界形状比较复杂时，一般只能求出近似解。　　有限差分法的基本思想基本思想是：将求解区域划分为网将求解区域划分为网格，将求解区域内的连续分布的场用网格节点上的离格，将求解区域内的连续分布的场用网格节点上的离散场值来代替，将边界上连续分布的边界条件用离散散场值来代替，将边界上连续分布的边界条件用离散的边界条件值来代替，这样我们可将被求解区域中的的边界条件值来代替，这样我们可将被求解区域中的解微分方程的边值问题用差分方程的迭代求解来代替。解微分方

2、程的边值问题用差分方程的迭代求解来代替。随着计算机技术的飞速发展，数值计算方法得到随着计算机技术的飞速发展，数值计算方法得到越来越广泛的应用，并在电磁场计算方法中占有重越来越广泛的应用，并在电磁场计算方法中占有重要的地位。要的地位。由于有限差分法是通过对被求解区域进行分格，实由于有限差分法是通过对被求解区域进行分格，实现了将连续场的离散化，因此，现了将连续场的离散化，因此，有限差分法不仅能用有限差分法不仅能用于解静电场的问题，还能解任意静态场和时变场问题；于解静电场的问题，还能解任意静态场和时变场问题；不仅能处理线性问题，还能处理非线性问题不仅能处理线性问题，还能处理非线性问题。特别要。特别

3、要注意的是：注意的是：不管被求解区域的边界形状如何复杂，只不管被求解区域的边界形状如何复杂，只要把网格分得足够的细，都可以得到足够精确的解要把网格分得足够的细，都可以得到足够精确的解。。图图3.13.1二维矩形区域的正方形网格二维矩形区域的正方形网格下面介绍下面介绍有限差分法的基本原理有限差分法的基本原理..如图如图3.13.1所示，在所示，在一个边界为一个边界为CC的二维矩形区域内，电位的边值问题的二维矩形区域内，电位的边值问题可表示为：可表示为：222∂Φ∂Φρs∇Φ=2+2=−(3.1)(3.1)∂x∂yε0hΦ

4、=f(x,y)(3.2)(3.2)s即给定二维区域中的电荷分布和电位在边

5、界上的即给定二维区域中的电荷分布和电位在边界上的值，求区域中各点的电位。有限差分法的第一步将场值，求区域中各点的电位。有限差分法的第一步将场域分成足够多的正方形网格，网格线之间的距离为域分成足够多的正方形网格，网格线之间的距离为hh，，网格线的交点称为网格线的交点称为节点节点。。现我们来讨论现我们来讨论55个相邻节点上电位之间的关系，即节个相邻节点上电位之间的关系，即节点点00上上Φ0与节点与节点11、、22、、33、、44上电位上电位Φ1,Φ2,Φ3,Φ4之间的关系。设节点之间的关系。设节点00的坐标为（的坐标为（x0,y0），由于），由于网格的边长网格的边长h很小，因此在通过节点很小，因

6、此在通过节点00且平行于且平行于x轴的直线上的相邻点轴的直线上的相邻点x的电位值的电位值Φ(x,y0)，可用，可用二维函数的泰勒公式在节点二维函数的泰勒公式在节点00展开为：展开为：23⎛∂Φ⎞1⎛∂Φ⎞21⎛∂Φ⎞3Φx=Φ0+⎜⎟(x−x0)+⎜⎜2⎟⎟(x−x0)+⎜⎜3⎟⎟(x−x0)⎝∂x⎠02!⎝∂x⎠03!⎝∂x⎠041⎛∂Φ⎞4+⎜⎜4⎟⎟(x−x0)+⋅⋅⋅(3.3)4!⎝∂x⎠0在节点在节点11，，x=x0+h，这一点的电位为，这一点的电位为234⎛∂Φ⎞1⎛∂Φ⎞21⎛∂Φ⎞31⎛∂Φ⎞4Φ1=Φ0+⎜⎟h+⎜⎜2⎟⎟h+⎜⎜3⎟⎟h+⎜⎜4⎟⎟h+⋅⋅⋅⎝∂x⎠02!

7、⎝∂x⎠03!⎝∂x⎠04!⎝∂x⎠0(3.4)(3.4)在节点在节点33，，x=x−h，这一点的电位为，这一点的电位为0234⎛∂Φ⎞1⎛∂Φ⎞21⎛∂Φ⎞31⎛∂Φ⎞4Φ3=Φ0−⎜⎟h+⎜⎜2⎟⎟h−⎜⎜3⎟⎟h+⎜⎜4⎟⎟h+⋅⋅⋅⎝∂x⎠02!⎝∂x⎠03!⎝∂x⎠04!⎝∂x⎠0(3.5)(3.5)因此因此24⎛∂Φ⎞22⎛∂Φ⎞4Φ+Φ=2Φ+⎜⎟h+⎜⎟h+⋅⋅⋅130⎜2⎟4!⎜4⎟⎝∂x⎠0⎝∂x⎠0(3.6)(3.6)当正方形网格分得足够多时，网格的边长h可以4足够的小，则式(3.6)中的h以上的项都可以忽略。则式(3.6)可近似为2⎛∂Φ⎞2⎜⎟h=Φ+Φ−2Φ(3.

8、7)⎜2⎟130⎝∂x⎠0同理可写出2⎛∂Φ⎞2⎜⎜2⎟⎟h=Φ2+Φ4−2Φ0(3.8)⎝∂y⎠0将上面两式相加可得22⎛∂Φ∂Φ⎞2⎜+⎟h=Φ+Φ+Φ+Φ−4Φ⎜22⎟12340(3.9)⎝∂x∂y⎠0而在节点0的泊松方程又可以写为22⎛∂Φ∂Φ⎞⎛ρ⎞⎜s⎟⎜+⎟=−(3.10)⎜22⎟⎜⎟⎝∂x∂y⎠⎝ε⎠000将式(3.10)代入式(3.9)可得1⎡⎛ρ⎞⎤Φ=Φ+Φ+Φ+Φ+⎜s⎟h2(3.11