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1、第五章多元函数的微分学§5.1多元函数的基本概念§5.2多元函数的偏导数§5.3多元函数的全微分§5.4多元复合函数及隐藏函数求导法则§5.5多元函数的极限§5.6多元函数微分法在经济上的应用§5.1多元函数的基本概念一、平面点集例1:例2:yxo定义x-rrr例3:y-ro二、邻域内点:外点:界点:E边界点外点内点···E.开集:开区域:注意：开集不一定是开区域yxoooo闭区域:区域:有界区域与无界区域二、空间解析几何简介1.空间直角坐标系O-XYZ(右手法则)坐标轴:坐标原点:坐标平面:卦限:八个卦限空间内的点问题：空间任一点的坐标
2、如何确定呢？O4、空间曲面与曲面方程(3)特殊平面的方程(4)球面方程问题：如何认识空间任一张曲面的图形呢？（有兴趣的同学可阅读相关资料）(5)柱面方程①②③圆锥面方程④椭球面方程⑤椭圆抛物面方程⑥双曲抛物面方程⑦三、多元函数的极限与连续1、多元函数的定义定义1定义域的求法例1:解:yyyyyxooooooo000oOo0oo对应关系的求法例2:解:二元函数的几何意义2.二元函数的极限例1.二元函数的连续性若则称函数在点处连续．若函数在区域Ｄ内每一点都连续，则称函数在Ｄ内连续，或称是Ｄ内的连续函数．若函数在点处不连续，则称点为的间断点．例
3、如，间断点为：定义3在有界闭区域上二元连续函数具有性质：性质１（最大值和最小值定理）在有界闭区域Ｄ上的连续函数，一定能够取得最大值和最小值．性质２（介值定理）在有界闭区域Ｄ上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最小值之间的任何数值．二元初等函数在其定义区域内连续．结论二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数例4§5.2多元函数的偏导数设函数在点某邻域内有定义，当固定而在处有增量时，函数的增量存在，则称此极限值为函数在点处对的偏导数.记作:或若极限定义1即在点处对的偏导数定义为:类似,函数也记
4、作是一元函数在点处的导数,是一元函数在点处的导数,结论视y为常量，对x求导.视x为常量，对y求导.若函数在区域D内每一点处对的偏导数都存在,偏导数就是的函数,称为函数对的偏导(函)数.记作类似定义函数对的偏导数.记作:说明对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时,只需视其它变量为常量,求导即可.根据一元函数的求导公式和求导法则,同理可定义多元函数的偏导数xyzSo二元函数偏导数的几何意义:是一元函数在点处的导数,由一元函数导数的几何意义知在几何上表示空间曲线在点处的切线对轴的斜率.类似,在几何上表示空间曲线在点处的切线对轴的斜率.二、偏导数
5、的计算例1.求的偏导数.解例2.求处的偏导数.在点解例3.求的偏导数.解例4.求的偏导数.解例5.已知求:解:例6.求函数在原点处的偏导数.解二元函数在某一点处偏导数存在,但未必连续.不存在．二、高阶偏导数设函数在区域D内有偏导数若这两个函数的偏导数存在，称其为函数的二阶偏导数混合偏导数类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.解例1.设求它的二阶偏导数.再求例2.验证函数满足方程证证由自变量的对称性知例3.证明函数满足方程(拉普拉斯方程)定理1练一练解答§5.3多元函数的全微分一、全微分的定义与计算设函
6、数在点某邻域内有定义，分别给一增量函数相应的全增量若全增量可表示为:其中仅与有关，与无关，则称函数在点处可微.定义1称为函数在点处的全微分.即记作若函数在区域D内各点处都可微,则称函数在D内可微.定理1若函数在点处可微分.则该函数在点的偏导数必定存在,且证由特别同理可证类似于一元函数,记或注意若函数在点存在处的偏导数函数在该点不一定可微.例证明函数在原点的两个偏导数存在,但不可微.解函数在原点的全增量函数在原点的全微分而且不存在所以由定义知函数在原点不可微.定理2(充分条件)若函数在点的某邻域内有连续的偏导数,则函数在该点可微.且若函数在
7、点可微则解例1.求函数在点(2,1)处当时的全微分和全增量.例2.求下列函数的全微分:解(1).§5.4复合函数及隐藏函数求导法则一、多元复合函数的求导法则(1)设函数在点处有偏导数,在点处有偏导数,且定理1而函数在对应点处可微则复合函数连锁法则例1.设求解例2.设解:例则复合函数连锁法则m若函数都在点x处可导,函数在对应点处可微,则复合函数在点x处可导,且全导数推论1.函数则复合函数在点x的导数全导数推论2.以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形.说明例5.求解例4.求解解:设因此例6.且 存在一阶连续偏导数，求例7设解：设例
8、8.解:而于是也可以在求出一阶偏导数后,把 代入再求二阶偏导数例9设具有二阶连续偏导数,求解令则一阶全微分形式不变性则则仍有例解所以二、隐函数求导法则方程两边对求偏导同理例1.设,求解法1
