2019高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第三讲 导数的简单应用学案 理

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1、第三讲　导数的简单应用、定积分考点一　导数的几何意义、定积分1．导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a>0)；(4)(logax)′＝(a>0，且a≠1)．2．导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．[对点训练]

2、[解析]　[答案]　D[解析]　[答案]　A[解析]　[答案]　[解析]　[答案]　2－2[快速审题]　看到求切线，想到用导数的几何意义；看到定积分，想到微积分的基本定理和图形．(1)求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法①已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；②已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；③已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两

3、点式写出方程．(2)利用定积分求平面图形面积的方法利用定积分求平面图形的面积，一般先正确作出几何图形，再结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．考点二　利用导数研究函数的单调性1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可．2．若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．角度1：根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围[解析]　由题意得f′(x)＝2x＋a＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴g(x

4、)＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴Δ＝a2－24≤0或∴－2≤a≤2或即a≥－2.[答案]　C角度2：利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性[解]　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝，令h(x)＝－ax2＋x－a，记Δ＝1－4a2，当Δ≤0时，即a≥时，－ax2＋x－a≤0，f′(x)≤0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上递减．当Δ＝1－4a2>0，即当0x2>0，故此时函数f(x)在上递增，在和上递减，综上，0

5、递减，a≥时，函数f(x)在(0，＋∞)上递减．[探究追问1]　若把例2的条件“a>0”变为“a∈R”，其他条件不变，则f(x)的单调性如何？[解]　由例2解的内容知：f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝－ax2＋x－a.当a≤0时，h(x)>0恒成立，所以f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，同例2解的内容．综上：a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上递增．0

6、>0”变为“a∈R”试讨论f(x)的单调性．[解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＋a＝＝.当a＝0时，f′(x)＝，令f′(x)>0，则x>1，令f′(x)<0，则00时，x＋>0，令f′(x)>0，则x>1，令f′(x)<0，则0

7、f′(x)>0，则1－，所以函数f(x)在区间(0,1)和上单调递减，在区间上单调递增；④当a<－1时，1>－，令f′(x)>0，则－1，所以函数f(x)在区间和(1，＋∞)上单调递减，在区间上单调递增．综上，当a≥0时，函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增；当a＝－1时，函数f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递减；当－1