2019高考数学二轮复习 第一部分 压轴专题二 函数与导数 第2讲 利用导数研究函数的综合问题练习 理

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1、第2讲利用导数研究函数的综合问题A组　小题提速练一、选择题1．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，下面的不等式在R上恒成立的是(　　)A．f(x)>0　　　　　　B．f(x)<0C．f(x)>xD．f(x)2f(－1)D．f(0)＋f(－2)≥2f(－1)解析

2、：由题意得，当x≥－1时，f′(x)≥0，当x≤－1时，f′(x)≤0，∴f(x)的最小值为f(－1)，即对任意实数x，都有f(x)≥f(－1)，∴f(0)≥f(－1)，f(－2)≥f(－1)，∴f(0)＋f(－2)≥2f(－1)，故选D.答案：D3．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且f(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：设h(x)＝f(x)g(x)，又h′(x

3、)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0知x<0时，h(x)为增函数，又f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，∴h(x)为奇函数且在(0，＋∞)上为增函数，且h(3)＝0，所以f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故选D.答案：D4．已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)<，f(1)＝1，则不等式f(x)<＋的解集为(　　)A．{x

4、x<－1}B．{x

5、x>1}C．{x

6、x<－1或x>1}D．{x

7、－1

8、f′(x)－<0，∴g(x)为减函数，∴x>1.答案：B5．(2018·贵阳模拟)求曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积，其中正确的是(　　)A．S＝(x2－x)dxB．S＝(x2－x)dxC．S＝(y2－y)dyD．S＝(y2－y)dy解析：依题意，在同一坐标系下画出曲线y＝x2与直线y＝x的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1)，结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为(x2－x)dx，选B.答案：B6．(2018·合肥模拟)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数

9、的估计值为(　　)A．5000　　　　　　B．6667C．7500D．7854解析：S阴影＝S正方形－x2dx＝1－＝，所以有＝＝，解得n≈6667，故选B.答案：B7．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为(　　)A.B．1C．0D．不存在解析：f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：当x≠0时，f′(x)＋＝＝>0，当x

10、>0时，[xf(x)]′>0，则h(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增函数，且h(0)＝0，∴h(x)＝xf(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，又>0，∴F(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即F(x)在(0，＋∞)上无零点．当x<0时，[xf(x)]′<0，∴h(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数，且h(0)＝0，∴h(x)＝xf(x)>0在(－∞，0)上恒成立，所以F(x)＝xf(x)＋在(－∞,0)上为减函数，当x→0时，xf(x)→0，→－∞，则F(x)<0，x→－∞时，→0，F(x)≈xf(x)＞0，∴F(x)在(－∞，0)上有唯一零点．综上所述，F(x)在(－∞，0)

11、∪(0，＋∞)上有唯一零点，故选B.答案：B9．若∀x，y∈[0，＋∞)，不等式4ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立，则实数a的最大值是(　　)A.B．1C．2D.解析：ex＋y－2＋ex－y－2＋2＝ex－2(ey＋e－y)＋2≥2(ex－2＋1)，当且仅当y＝0时等号成立．由2(ex－2＋1)≥4ax，得2a≤.令g(x)＝，则g′(x)＝，可得g′(2)＝0，且在(2，＋∞)上，g′(x)>0，在[0,2]上，g′(x)<0，故g(x)的最小