陕西省周至县高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法教案 北师大版选修2-2

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1、1.3“反证法”1．教材内容及地位本节课是北师大版《数学》（选修2-2）第一章“推理与证明”的第3节内容《反证法》的第一课时，学生主要学习间接证明的一种基本方法——反证法，学生通过学习，了解反证法的思考过程、方法特点、及应用范围.它是在学完直接证明的两种方法综合法和分析法后，出现的一种间接证明的方法，这种方法的学习有助于培养学生逆向思考的思维能力，从而完善解题过程中正反面结合的思维习惯.2.教学目标1.知识与技能（1）学生通过具体的例子了解反证法的思考过程、特点.（2）学生通过已经学过的数学实例的证明体会反证法的证明过程，并能用反证法证明一些简单的数学命题.2.过程与方法（1

2、）学生借助实例分析体会反证法的证明原理.（2）学生通过实际演练体会在解决数学问题时，通过增加条件，增加了一种间接证明的方法——反证法.3.情感、态度与价值观（1）学生通过反证法的运用，在解决问题时有了“正难则反”的思维方向，发展了自己的思维能力，渗透了运用辩证观点解决问题的意识.（2）学生认识到例题背后的数学文化，了解了数学发展的源远流长，激发了自己学习数学的兴趣.5、教学过程（一）创设情境，引入课题（以下内容部分通过课件展示）问题1：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的.你能证明这个结论吗？假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4，则球的总

3、数应该不超过8个，这与球的总数是9矛盾.因此，不论怎样染，至少有5个球是同色的.设计意图：学生能够从具体的例子中，感受到反证法的存在。问题2：上面的证明方法和我们上节课学习的综合法和分析法相同吗？不同.设计意图：学生了解反证法是与直接证明不同的一种方法.问题3：上面这种证明方法在数学中叫做什么呢？反证法.设计意图：学生知道在数学证明方法中，还有这样一种证明方法.（二）引导探索，生成概念问题4：你能总结一下什么叫做反证法吗？一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.设计意图：学生试着总结反证法的定义

4、.问题5：有了反证法的定义，你能总结出用反证法证明题目的步骤吗？反证法证明题的步骤：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立.从假设出发，经过推理，得出矛盾.由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确.设计意图：学生试着总结反证法证明题目的步骤.问题6：反证法中到底蕴含着什么样的数学逻辑？反证法是将证明转化为，而与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，而一般与不等价。因此反证法与证明逆否命题不是一回事.（三）学以致用，理解感悟例1.已知是整数，能整除.求证：能整除.学生活动：引导学生从正面出发试着证明，不妨设，那么，2能否整除不容易确定.这样我们想到了反证法.证明：假设命题的结论不成

5、立，即“不能整除”.因为是整数，故是奇数，可表示为，则，即是奇数.所以，不能整除.这与已知“能整除”相矛盾.于是，“不能整除”这个假设错误，故能整除.设计意图：学生体会从假设出发，如何推导出与已知矛盾.探究一：已知是整数，能整除.求证：能整除.学生活动：仿照例1的证明过程，学生思考，能整除的否定有哪些情况，然后试着证明.证明：假设命题的结论不成立，即“不能整除”.因为是整数，可表示为，则当时，当时，综上所述，不能整除，这与已知“能整除”相矛盾，于是，“不能整除”这个假设错误，故能整除.设计意图：一方面进一步熟悉反证法的证明过程，另一方面对例1的结论进行推广，最后，为课后练习“

6、求证：是无理数”做知识的铺垫.探究二：已知是整数，能整除.求证：能整除.学生活动：这个问题可以让学生仿照“探究一”课后训练.设计意图：为课后作业“求证：是无理数”做知识的铺垫.例2.求证：是无理数.数学文化：关于“是无理数”的证明有其深厚的文化背景.两千多年前，古希腊人用反证法证明了不是有理数（因为当时还没有发现无理数呢），这是用反证法证明命题的真实性的最经典的实例.对这些感兴趣的同学课后可以查阅相关资料进行学习.证明：假设不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设，且互素，则.所以，.①故是偶数，也必然为偶数.不妨设，带入①式，则有，即，所以，也为偶数.和都

7、是偶数，它们有公约数，这与互素相矛盾.这样，不是有理数，而是无理数.设计意图：一方面，这个问题是例1知识的延续，另一方面，为课后的练习和习题做准备，学生通过此题的证明，能在课后的训练中举一反三，灵活运用.例3.在同一平面内，两条直线都和直线垂直.求证：与平行.学生活动：引导学生从正面出发，根据两条平行线的定义能否直接证明，由于不容易确定两条直线没有公共点，进而退而求其次，考虑用反证法.证明：假设命题的结论不正确，即“直线与相交”.不妨设直线的交点为，的交点为，的交点为，如右图所示，则.这样，的内角和.这