陕西省石泉县高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法（2）教案 北师大版选修2-2

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1、4数学归纳法(2)课标要求使学生了解归纳法,理解数学归纳的原理与实质三维目标1．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．2．培养学生观察,分析,论证的能力,进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程,体会类比的数学思想．3．努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．4．通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明),激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．学情分析数学归

2、纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．教学重难

3、点【教学重点】：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。【教学难点】：如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设。提炼的课题如何理解数学归纳法证题的有效性教学手段运用教学资源选择类比启发探究式教学方法；多媒体辅助课堂教学教学过程环节学生要解决的问题或任务教师教与学生学设计意图问题1已知＝（n∈N），(1)分别求；；；．(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？问题2费马（Fe

4、rmat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了＝4294967297＝6700417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．问题3,当n∈N时，是否都为质数？验证：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，

5、f（39）＝1601．但是f（40）＝1681＝，是合数．例1用数学归纳法证明板书解答过程，注意解题规范，严防出现“依次类推”式的不完全归纳法；强调n=k成立必须应用在证明n=k+1成立的过程中，不可应用等差数列求和公式证明n=k+1成立。证明：（1）当n=1时，左式=1，右式=12，等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立即成立则当n=k+1时所以当n=k+1时等式也成立综合（1）（2）知，等式对于任意n∈N*都成立。演示此求证式的含义在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目

6、的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．课堂检测内容专家伴读P13打基础，测水平7，8不做补充若n为正整数，求证：n3+5n能被6整除。证明：（1）当n=1时，命题显然成立；（2）假设当n=k时，命题成立，则k3+5k能被6整除则当n=k+1时，（k+

7、1）3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6由假设知k3+5k能被6整除，而k(k+1)是2的倍数，即3k(k+1)为6的倍数，第三项6也能被6整除，因此，(k3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除。综合(1)(2)知，原命题成立。