2019年高考数学二轮复习 立体几何中的探索性问题的解题策略

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1、2019年高考数学二轮复习立体几何中的探索性问题的解题策略[策略诠释]1．主要类型：(1)对平行或垂直关系的探索．(2)对条件或结论不完备的开放性问题的探索．2．解题思路：首先假设其存在，然后在这个假设下推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，若推出了矛盾就否定假设．3．注意事项：(1)解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来．(2)在转化过程中要有理有据，不能凭空猜测．【典例1】(xx·四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E

2、分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．[审题](1)切入点：先利用线面垂直的判定定理证明AA1⊥平面ABC，再证明直线BC⊥平面ACC1A1.关注点：注意条件AC⊥BC的应用．(2)切入点：由于D，E分别是线段BC，CC1的中点，易猜想M应为线段AB的中点．关注点：只要在平面A1MC内找到一条与DE平行的直线即可．[解题]【解】(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.2分因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，所以AA1⊥平面ABC.4分因为直线BC

3、⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交的直线，所以BC⊥平面ACC1A1.6分(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．由已知，O为AC1的中点.8分连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，11所以，MD綊AC，OE綊AC，22因此MD綊OE.9分连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.11分即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE

4、∥平面A1MC.12分[变题]1．(xx·北京东城模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，P为DN的中点．(1)求证：BD⊥MC.(2)线段AB上是否存在点E，使得AP∥平面NEC，若存在，说明在什么位置，并加以证明；若不存在，说明理由．【解】(1)连接AC，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以AM⊥平面ABCD.因为BD⊂平面ABCD，所以AM⊥BD.因为AC∩AM＝A，所以BD⊥平面MAC.又MC⊂平面MAC，所以BD⊥MC.(2)当E为AB的中

5、点时，有AP∥平面NEC.取NC的中点S，连接PS，SE.1因为PS∥DC∥AE，PS＝AE＝DC，2所以四边形APSE是平行四边形，所以AP∥SE.又SE⊂平面NEC，AP⊄平面NEC，所以AP∥平面NEC.【典例2】(12分)(xx·北京丰台模拟)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图(2)．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使

6、平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．[审题](1)切入点：先从折叠前后关系入手证明DE⊥AC.关注点：折叠前后线面间的位置关系．(2)切入点：先由条件建立空间直角坐标系，求面平面A1BE的法向量．关注点：线面角与方向向量和法向量所求角的关系．(3)切入点：首先假设存在点P.关注点：由平面A1DP与平面A1BE垂直知其法向量垂直．【解】(1)证明：∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC.∴DE⊥A1C.又∵A1C⊥CD，且DE∩CD＝D，∴A1C⊥平面BCDE.(2)如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角

7、坐标系Cxyz，则A1(0,0,23)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2，2,0)．设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，→→则n·A1B＝0，n·BE＝0.→→又A1B＝(3,0，－23)，BE＝(－1,2,0)，3x－23z＝0，∴－x＋2y＝0.令y＝1，则x＝2，z＝3，∴n＝(2,1，3).6分设CM与平面A1BE所成的角为θ.→∵CM＝(0,1，3)，→∴sinθ＝

8、cos〈n，CM〉

9、＝→n·CM42

10、

11、＝＝.

12、n

13、·

14、→CM

15、8×42π∴CM与平面A1BE所成角的大小为.8分4(3)线段BC上不存在点P，使平

16、面A1DP与平面A1BE垂直．理由如下：假设这样的点