2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6 2.6.2 求曲线的方程学案 苏教版选修2-1

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1、2.6.2　求曲线的方程学习目标：1.了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．(重点)2.掌握求动点轨迹方程的常用方法．(难点)3.对动点轨迹方程的限制与检验．(易错点)[自主预习·探新知]教材整理　求曲线的方程阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题．1．求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：↓↓↓↓求曲线方程的流程图可以简记为：→→→→2．求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线

2、方程也不一样．(　　)(2)化简方程“

3、x

4、＝

5、y

6、”为“y＝x”是恒等变形．(　　)(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．(　　)(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________．[解析]　由圆的定义知，点M的轨迹是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，则其方程为x2＋y2＝4.[答案]　x2＋y2＝43．设P为曲线＋y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则动点M的轨迹方程是__

7、______．[解析]　设M(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y，∵＋y＝1，∴x2＋4y2＝1.[答案]　x2＋4y2＝14．到A(－3,0)，B(5，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________.【导学号：71392127】[解析]　设P(x，y)，PA＝PB，即＝，即(x＋3)2＋y2＝(x－5)2＋(y＋1)2，化简得16x－2y－17＝0.[答案]　16x－2y－17＝0[合作探究·攻重难]直接法求轨迹方程　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a>c>b，且a，c，b成等差数列，AB＝2，求顶点C的轨迹方程．[精彩点拨]

8、　由a，c，b成等差数列可得a＋b＝2c；由a>c>b可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解．[自主解答]　以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C点坐标为(x，y)，由已知得AC＋BC＝2AB.即＋＝4，整理化简得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1.又∵a>c>b，∴x<0且x≠－2.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(x<0且x≠－2)．[名师指津]　直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键①建立恰当的平面直角坐标系；②找出所求动点满足的几何条件.

9、(2)方法求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：①建系、设点；②根据动点满足的几何条件列方程；③对所求的方程化简、说明.[再练一题]1．若将本例已知条件“a>c>b且a，c，b成等差数列”改为“△ABC的周长为6且AB＝2”，求顶点C的轨迹方程.【导学号：71392128】[解]　以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由已知得AC＋BC＋AB＝6.即＋＝4.化简整理得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1.∵A，B，C三点不能共线，∴x≠±2.综上，点C的轨

10、迹方程为＋＝1(x≠±2).定义法求曲线方程　已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．[精彩点拨]　利用平面几何的知识，分析点P满足的条件为抛物线，可用定义法求解．[自主解答]　如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则KQ＝1，所以PQ＝r＋1，又AP＝r＋1，所以AP＝PQ，故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)则＝2，∴p＝4，∴点P的轨

11、迹方程为y2＝－8x.[名师指津]　若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征.[再练一题]2．点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．[解]　设d是点P到直线x＝8的距离，根据题意，得＝.由圆锥曲线的统一定义可知，点P的轨迹是以F(2,0)为焦点，x＝8为准线的椭圆，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则解得∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.故点P的轨迹方程