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1、第六模块数列第二十七讲数列的概念与简单表示法回归课本1.数列的定义数列是按照一定顺序排列着的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,即当自变量从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值,其图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一系列孤立的点,数列的一般形式为a1,a2,…,an,…,通常简记为{an},其中an是数列{an}的第n项,也叫做通项.2.数列的通项公式一个数列{an}的第n项an与序号n之间的关系,如果可以用一个式子an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.数列的通项公式是研究数列
2、的最佳载体,因此确定一个数列是否有通项公式,以及如何求出这个通项公式,是解决数列问题的关键.求通项公式的常用方法有:观察分析法､累差法､累商法和公式法等.3.数列的表示方法从函数的观点看,数列的表示方法有:列表法､图象法､解析法.4.数列的分类(1)按照项数是有限还是无限来分:有穷数列､无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系来分:递增数列､递减数列､常数列､摆动数列.(3)按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分:有界数列､无界数列.5.数列an与Sn之间的关系Sn=a1+a2+a3+…+an,an=6.数列的递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第2项起
3、(或某一项)任意一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.等差数列与等比数列是最基本的递推数列,递推数列的基本问题是由递推关系求通项公式.考点陪练1.(2010·安徽)设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为()A.15B.16C.49D.64解析:a8=S8-S7=82-72=15.答案:A2.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列的第k项为D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}解析:根据数列的定义与
4、集合定义的不同可知A,B不正确;D项{2n}中的n∈N*,故不正确;C中an=∴ak=答案:C3.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析:解法一:∵an+1-an=,∴an+1>an,数列{an}为递增数列.答案:A4.设数列{an}中,a1=1,n≥2,都有a1•a2•a3•…•an=n2,则a3+a5=()分析:从理论上说,如果已知数列的首项和递推公式可以求出这个数列的任何一项,但当序号较大时,利用递推公式来求是很麻烦的,从这一点来说数列的通项公式要比递推公式更为深刻,当序号较小时可用解法二,如果由递推公式
5、能很快地推导出通项公式,还是用通项公式来求解,这样能使得计算简捷､准确.解析:解法一:由已知a1•a2•a3•…•an=n2得an=,n≥2,n∈N*,将a1·a2·…·an-1=(n-1)2,n≥3,n∈N*,代入an得an=(n≥3).当n=2时适合此式,当n=1时不适合此式.∴an=∴a3+a5=,∴选A.解法二:当n=2时,a1•a2=4,∴a2=4.当n=3时,a1•a2•a3=9,∴a3=当n=4时,a1•a2•a3•a4=16,∴a4=当n=5时,a5=,∴a3+a5=,∴选A.答案:A5.数列{an}中,a1=1,a2=2,当n∈N*时,an+2等于anan+
6、1的个位数,若数列{an}的前k项和为243,则k=()A.61B.62C.63D.64解析:依题意,得a1=1,a2=2,a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,a10=4,a11=8,a12=2,a13=6,…,数列{an}除第一项外,其余的项形成以6为周期的数列,且从a2到a7这六项的和等于24.注意到243=1+24×10+2,因此k=1+6×10+1=62.故选B.答案:B类型一由前n项探索数列的通项公式解题准备:观察法就是观察数列的特征,找出各项共同规律,横看“各项之间的关系结构”,纵看“各项与项数n的关系”,从而确定出数列的通项.利
7、用观察法求数列的通项时,要抓住以下几个特征:(1)分式中分子､分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项符号特征等,并对此进行归纳､联想.注意:一个数列的通项公式的表达形式不一定唯一.【典例1】根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式.(1)1,0,1,0,…;(2)1,1,2,2,3,3,…;(3),….(3)∵奇数项为负,偶数项为正,故选用(-1)n确定符号.由观察知分子为2n,而分母为两个连续奇数的积即(2n-1)(2n+1).∴an=(-1)n[反思感悟]由给出的前n项求
