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1、第二章矩阵及其初等变换内容提要一.矩阵的概念定义由mxn个数cijj（i=1,2,…，加;）=1,2,•••,〃）排成的m行〃列的数表屮31。32…a3n_称为加行“列矩阵，简称加xn矩阵.记为Artlxn、（陶、人、（竹/J•当加=1时，九”=（也色…色）称为行矩阵（行向量）；当〃=1时，B".称为列矩阵（列向量）；九当m=n时，Anxn=Ati称为n阶方阵（矩阵）.二.特殊矩阵1•零矩阵:元素全为零的矩阵•记为或0・「10•…（To1・・•o2•单位矩阵:Ett=E=・...••••♦•00•…1~k_土k3•数量（纯量）矩阵:kE=■kA'右4.对角矩阵：A=二加og［入，人，…，如.■
2、■4.上（下）三角矩阵：上三角矩阵下三角矩阵三.负矩阵:设A=(陽),则—A=(-«,).J/mxn/mxn四•同型矩阵:设A=(aA,B=(/?,).如果m=s,n=t,则称A与B为同型矩阵.J/mx/j"厶x/五.矩阵的相等:设A=(a,),B=(bA，则J/mxtt"/mxnA=B0知=/?“,(,=1,2,…,加;J=1,2,…,n).［注意］不同型的零矩阵与单位矩阵都不相等.六.矩阵的基本运算及其性质1.加(减)法⑴设A=(aA,B=(bt，则A±B=(al］±bA.［注意］不同型的矩阵不能相加(减)・(2)性质：①A+B=B+4;©(4+B)+C=A+(B+C);③A
3、+O=A,A+(—4)=0.2.数乘⑴设A=(aii｝，仑是任意常数，则kA=(kaA・［注意］数乘矩阵与数乘行列式的区别：数乘矩阵是用数£去乘以矩阵A的每一行(或列)；数乘行列式是用数£去乘以行列式的某一行(或列).(2)性质：①伙+/)A=M+/A;②k(A+B)=kA+kB;③k(lA)=(kl)A=l(kA);④0A=0,k0=0,(-l)A=-A.3.乘法⑴设小仏:临)心则AB=C=(c,7)J//nx/t其中Cij=aibj+ai2b2j+…+aisbsj,Q=1,2,…，加;j=1,2,….［注意］①只有左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数,AB才有意义；②的行数=左矩阵A的行
4、数，AB的列数=右矩阵〃的列数；③A3的第i行第丿列的元素=左矩阵A的第i行与右矩阵B的第丿列对应元素乘积之和.④两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵.⑤矩阵的乘法不满足交换律，即一般地AB^BA.(2)性质:①(AB)C=A(BC)・②(A+B)C=AC+BC,(B+C)A=BA+CA.@(kA)B=k(AB)=A(kB)・④A0=0A=Q9AE=EA=A.(3)方阵的幕设4为〃阶矩阵，则屮=A,A2=AW=A4,…，"=占人=44…AkwNSV'k4.矩阵的转置⑴设人=(勺)加，则A的转置矩阵以=(勺)“・(2)性质：®(A±B)t=At±Bt;(D(M)r=Mr;③(AB)r=BtAt(但(A
5、B)thArBr);④(At)t=A,(3)对称矩阵与反对称矩阵设A为料阶矩阵，如果①屮=人，则称A为对称矩阵；②A7=-A,则称A为反对称矩阵.定理2.1阶矩阵A为对称矩阵<^>aij=aji,/,/=1,2,•••,/?・5.方阵的行列式⑴设力二（伽）计,则A的行列式
6、=det（6/.）.（2）性质：(DkAn=knA(但网卜刈內);①几Bn=A-
7、B
8、=BA（虽然一般地工84）;特别地:
9、勒二Ak;②
10、糾=同・一.逆矩阵1.设A为〃阶矩阵,若存在h阶矩阵B,使得AB=BA=E,则称A是可逆的，B是A的逆矩阵，记为4",即4"=B・2.伴随矩阵及其性质A,2Al人21
11、为矩阵4的伴随矩设A=（认“,则称A*=（A,）r=（A..）=A,2每2••••••^2n阵•其中A-.为
12、A
13、中元素勺的代数余子式.［注意］X的构造：X的第j（j=l,2,•••,/?）列元素是同中第j行元素的代数余子定理2.2设"为矩阵4的伴随矩阵，则AA+=A*A=
14、A
15、E・3.矩阵可逆的判别定理及求逆公式定理2.3n阶矩阵A可逆<=>
16、川工0・且犷=丄"・推论2.1若”阶矩阵4、B满足AB=E（或BA=E）,则A可逆，且A'1=B.4.性质(1)(M)'1=k-lA~丘工0;(2)(AB)-1(但(AB)TH人一勺“);⑶(A7)-1=(A-,)r;(4)(A-1)'1=A；1H；
17、d-b-ca(7)A当a可逆时，则"=AA-（A^-1二点;⑻如果A=PAP—'（或P^'AP=A,此时称A与A相似），则一般地，设0(x)=amxm+・・・+%x+a()，把(p(A)=amAm+-^+alA+aQE称为矩阵A的多项式•有0（A）=P0（A）Pl四•分块矩阵1.用若干条横线和纵线将矩阵分成若干小块，称为矩阵的子块；以子块为元素形式上的矩阵称为分块矩阵.2.分块矩阵的运算（1
