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《Maltlhus模型Logistic模型：SIS模型两种群竞争模型报童的决策》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数学建模平时作业班级：0820862学号：09姓名：武彩霞一、Malt止us模型：模型假设：lilt时刻人口的数量为X(r),假设人口是连续发生变化的，人口的增长率是常数厂，如果不考虑环境资源和社会因素对人口的限制，和人口的迁入、迁出,试建立人口数量的变化规律。已知x(0)=100;x(100)=150;求兀(150),并图示模型曲线。建立模型::—=rxf兀(0)=100dt由Matlab软件容易解出这个方程:»%Malthus模型symsxx0rdsolve(fDx=r*x,；x(0)=100,)ans=100*exp(r*t)即：x
2、(t)=100erf由已知条件，利用Matlab软件可以求出r,»symsrsolve(*150=100*exp(r*100)')ans=l/100*log(3/2)然后t=150,可以计算出兀(150)。利用Matlab软件可以求出解：»symstfy»f=1OO*exp(1/100*log(3/2)*t);»subs(f,t,150)ans=183.7117HP：x(150)=183.7117o用Matlab软件屮的“plot”命令画出图形:»x=[0:1:100];»y=100*exp(1/100*log(3/2)*x);»plot
3、(x,y,〔b')Logistic模型:模型假设：如果考虑环境资源和社会因素对人口的限制，考虑人口的迁入、迁出，试建立人口数量的变化规律。设r=0.4;K=100;x(0)=5;^x(10),求出平衡点，图示模型曲线。阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降。若将1•表示为对x的函数r(x),则它应是减函数。于是：建立模型：建立人口数量的变化方程：dx—=r(x)x,x(0)=5(1)dt假设r(x)为新的线性函数，即r(x)-r-sx(r>0,5>0)(2)这里的「称固有增长率，表示人口很少时的增长率。为了
4、确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量K，称人口容量。当x二K时人口不再增长，即增长率r(K)=0,代入式⑵,得:于是：r(x)=r(l-—)K将式⑸代入式(1)得：dx~dty)‘x(0)=5因子庁体现人口自身的增长趋势，因子(1--)则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。显然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。式(6)可以变形为:可求得方程的解为:尢(/)=利用己知条件及Matlab软件可求得x(10):»symstf»f=100/(1+19*exp(-0.4*t));»s
5、ubs(f,t,10)ans=74.1841所以x(10)=74.1841o令/(x)=rx(l-—),f'(x)=0时，得到两个平衡点:Kx0=0(舍去),X=N所以，方程的平衡点为：x、=N°»fplot(,0.4*x*(l-x)[0,l])»x=[0:l/10:10];»y二100./(l+19*exp(・0.4*x));»plot(x,y；-b')二、SI模型SI模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。模型假设：(1)不考虑人口的出生、死亡流动等样动力因素。人口始终保持一个常数。即N(t)=Ko(2)—
6、个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设t时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数Fl与此环境内易感者总数s(I)成正比，比例系数为B,从而在I时刻单位时间内被所有病人传染的人数为BS(I)I(I)。模型建立：根据假设，每天共有个健康者被感染，于是•就是病人数M的增加率，即有:乂因为再记初始吋刻(匸0)病人的比例为2°,则:Z(0)=l/4令—=0,解得其平衡点为:dt方程的解为：1+(丄-1)严Zn»functiony=ill(t,x)»a=2;»y=[a*x*(l-x)]t;»ts=0:0.01:5;»x0=0.25;»[t
7、,x]=ode45('iH',ts,xO);[t,x]»plot(t,x)SIS模型SIS的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。模型假设：(1)不考虑人口的出生、死亡流动等群动力因素。人口始终保持一个常数。即N(t)=Ko(2)一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设t时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数冃与此环境内易感者总数S(t)成正比，比例系数为B,从而在(时刻单位时间内被所有病人传染的人数为BS(t)L(t)o⑶每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数“，称为日治愈率。1/“是这种传染病的平均
8、传染期。(1)建立模型:N—=fiNsls-juNldi5(z)+/(/)=!再记初始时刻(t=0)病人的比例为/。，贝IJ：=/7/(1-/)-///,/(0)=/0⑶at令虫=0,得其平衡
