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《一道课本例题解法的再探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、适用于《中学数学杂志》初屮版，投稿日期2007年4月2日一道课本例题证法的再探究河北省邯郸市复兴区赵王城学校刘振杰佟林邮编056017电话：0310-5797114E—ma订：tonglintonglin@sina.com题目如图1,过AABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别相交于F和E。求证：AE・BF二2AF・DE（西南师范大学出版社《几何》第二册249页例3）AA图1图2课本证法：如图2,过D作DG〃AB交CI；于GoAE_AFDG//AB=>BF~CBAD是屮线nCB=2
2、CDAE小AF=>=2•DEBFnAE・BF=2AF・DE思路分析：原证通过作辅助线，构造岀相似的基本图形“A”字型或“X”字型，得到了成比例线段，再利用比例性质或等式性质而达到了解决问题的目的。那么是否还有其它的解法呢？探究一原证是以AE、DE、AF为三边构造的“X”字型而证明的,能否构造“A”字型证明呢？于是得到另一证法。证法2：如图3,作DG//CF交AB于G,则AEAFAF~DE~~GF~T~~—DF2・・・AE・BF=2AF•DE图3图4仔细观察原图，循着上述思路我们乂可以以AE、AIBI；为三边
3、构造相似的基本图形，而得到证法3：如图4,过B作BG〃AD交CF延长线于G,则AFAE_AE~BF~~BG~2DE:.AE・BF=2AF・DE证法4：如图5,过B作BG//CF交AD延氏线于G,则AFAEGEBCBFGEDEDC.AF_AE2DE:.AE・BF=2AF•DE探究二因为所证四条线段分别共线，且两共线直线相交于点A,所以可考虑过点A作平行线证之。证法5：如图6,过A作AG〃BC交CF延<线于G,则AE_AGAF_AG~DE~~DC^~BF~~BCA"G图5图6又•・•BC=2DC.AE_2AF**
4、D£_BF:.AE•BF=2AF•DE证法6：如图7,过A作AG〃CF交BC延长线于G,则AEGCAFGC^F~1C又•・・BC=2DC图7探究三前而我们以所证积式屮的三条线段为基木线段构造出基本相似图形而证明，那么是否也能以两条线段为基本线段构造出棊本相似图形而证明呢？1.以AE、AI；为基本线段考虑证法7：如图8,过C作CG〃AB交AD延长线于G,则AE_AF_AFGE~GC~AFAEAE99~BF~GE-AE~~2DE:.AE・BF=2AF•DE证法8：如图9,过C作CG〃AD交BA延长线于G,则AEA
5、FGCBCGCGFADBD••AE_2AF__24F_2AF~AD~GF~AB+AF~BF+2AF.AE2AF"~DE~~BF~・・・AE・BF=2AF•DE//rG图8图92.以AE、DE为基木线段考虑证法9：如图10,过E作EG〃AB交BC于八wABBDGEGCGCEGGDBFBC2BD.ABGC99~BF~2GD.AFBGAE"~BF~2GD~2DE・・・AE・BF=2AF•DE证法10：如图11,过E作EG〃BC交AB于G,则4EAGGEGEGFADABBD[pc-BF22图10_AG—GFAEADA
6、B--BFAF+-BF22.AE_AF_2AF99de=T^=~^~2・•・AE•BF=2AF•DE3.以AF、BF为基木线段考虑证法11：如图12,过F作FG〃BC交AD于G,则AFAGFGFGGEABADBDCDDE.AFAG+GEAEABAD+DEAE+IDEAFAE图13BF2DE图12证法12：如图13,过F作FG〃AD交BC于厂ADABFGBFGFGCBD+GDAB+AFDEDCBD.ADAB+AFABDEBF.AE2AF^~DE~~BF~・・・AE・BF=2AF•DE探究四课本证法和证法2都是由
7、结论变AJ7AJ7为——=—,去探究—BF的替代量DGDELbF22而得证的，证法3和证法4都是山结论变为Ap上三，去探究2DE的替代量BG而得2DEBF~AE.尺而原结论还可变为丄一=—和DEBF2AF1——，那么又如何探寻-AE和2AF证的。AEDEBF2的替代量呢？而得到1.探究丄AE的替代量2证法13：如图14,取AC的屮点为G,连结DG交CF于M,再収CE的中点为H,连结GH,GH=丄4£2GM=-AF2DM」BF2lafGHGM_2处GH〃AE,GM//AF,DM〃BF,.2AEDEED~DM~
8、DZ7—or2•••AE・BF=2AF•DEBF图15分别取AC、AF、BF的图14证法14：如图15,中点为G、H、M,连结DM、HG,则HG〃EF〃DM—AP・2_GE2HFAFDE~DE~IMF~BF:.AE・BF=2AF・DE2.探究24F的替代量证法15：如图16,延长FA至G,使GF二2AF,分別过G、A作GH〃CF,AM〃CF,分别交BC的延长线于H、M,则GH〃AM〃CF,CH=2
