平差基础——第六章

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1、第六章附有参数的条件平差［作者：测量平差学科组转贴自：本站原创点击数：1637文章录入：学科组］一、问题的提出由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测(n>t)的条件平差问题，可以列岀r=n-t个独立的条件方程，H列出r个独立的条件方程后就可以进行后继的条件平差计算。然而，在实际工作中，育些平差问题的r个独立的条件方程很难列;

2、

3、。例如，在图1所示的测角网中，A、B为已知点，AC为已知边。观测了网中的9个角度，即n二9。要确定C、D、E三点的坐标，其必要观测数为"5,故条件方程的个数为r=n-t=9-5=4,即必须列岀4个独立的条件方程。由图1知，三个图形条

4、件很容易列出，但第四个条件却不容易列出。为了解决这个问题，可以选择某个（或某几个）非观测量作为参数左。如图1中选择厶4BD作为参数£。设选择了以个参数，则原来的广个条件方就变为亡=厂+以个了。如图1中，由于选择了厶加作为参数左，则条件方的个数就变为尸七=4+1=5个，即除了三个图形条件外，还可以^出M条件和1个固定边条件。如图1,若以A点为极，则极条件为：.他siii（丄5+丄?）£血XsillL6—::=1siii（Lg-X）siii（L6+S）sniL5固定边条件为（由血推算血）：sin(2+Ig)Mi£2人匚血立血厶6八111（心+厶）血厶；；=1S肋s

5、inXsill厶根据如此含有以个参数的条件方程所进行的平差，称为附有参数的条*差。二、附有参数的条件平差原理由第四章知，附有参数的条件平差的函数模型为：AF+Bx+W=0flU>d（7X1CXl'式中7为观测值£的改正数，令为参数近似值X。的改正数。其系数矩阵的乖别为朮⑷二c,rk（B）=uo其随机模型为:%=^QL£=gp7（6-1）式中的未知数为丸个观测值L的改正数/和m个参数近似值X。改正数龙，即未知数的个数为加=刃+匕，而方程的个数为<7=厂+以。由于血-=Z>0,所以（6-1）式是一组具有无穷多组解的相容方程组。必须根扼小二乘原理，求出能使mm的一组

6、解。为此，下面就来求解能VTPV=nini的一组解。1、基础方程及其解为了求得解能使VTPV=n^的一组解，按求函数之条件极值的方法,成新函数：①二VtPV^1KT（AV+Bx+W）式中K是对应（6-1）式的联系数向量。为了求函数①的极小值，将其分别对/和£求一阶导数，并令其为零,—=1VtP-1KtA=O07Y-=-2KTB=0亦即P7-AtK=0btk=o（67=P~1AtKbtk=o（6-2）式中的第一式称为改正数方程。将〔6・1）式和（6・2）式联立，则得到附有参数的条件平差的基础方稻奶+贞+皿=07=P'1ATK&BtK=Obtk=o将(6・3)式中

7、的第二式代入第一式，消去改正数r,得：AP~xArK^Bx^W=OBtK=O或NK+Bx+W=O7C6-BrK=O(6-4)式称为附有参数的条件平差的法方程。Erk(Naa)=rkiAP'1^)=rk(A)=c,且起=(AP^A1)1=AP~{Ar=1所以甌a是满秩的对称方阵，其凯利逆存在。于是，用机左乘(6・4)式卡一式，可得：―-N站+皿)(6-再以BTN2左乘(6-4)式的第一式，顾及第二式，得：3吨贞+衣皿＞=0令兀=衣心则有(6-因为汶（NQ=汶农必硏=汶⑻=毬,且Nbb=,所以皿满秩的对称方阵，其凯利逆存在。于是，由（6・7）式得:(6-将（6・5

8、）式和（6為）式同时代入（6・2）式的第一式，得:7=-p~1atn2(bx^w)(6-（6-8）式和〔6・9）式就是附有参数的条件平差的最终解。2、附有参数的条件平差的计算步骤由以上推导，可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如下：（1）、根据具体的平差问题，选取女个独立的参数，并列出附有参数的乡方程（6-1）式。⑵、组成法方程（6-4）式。（3）、按（6-8）式和（6-9）式计算参数近似值X。的改正数殳和观测侄的改正数兀（4）、按L=L+V.X=X°+x计算观测值和参数的平差值。&）、用平差值重新列平差值条件方程，检核整个计算的正确性。3、举例某三角网如图2

9、所示，卫、B为己知点，为已知边。其己知数据为：xA=1000.00阿yA=0.00阻xB=1000.00阻yB=1732.00加,SSD=100C各角的同精度独立观测值见表1。现选一CAB的最或是值为参数，试按附有数的条件平差求观测值的平差值和参数的平差值。本例中«=6,t=3,r=3,以=1,故。=厂+以=4由图2知，可列2个图形条件，1个极条件和1个固定边条件。这4彳件如下：V]+叫+卩？+Wq=0卩4+卩5+V百+⑷方=°AAAAAsillL4siii（一X）siii（l3+L5）AAAAsillL5吕in（丄2+丄4）sinXsillX::-=1^BD

10、Ml（.厶+丄5）取X°=30^00r