曲线生成的数学基础

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1、曲线生成的数学基础一、显示、隐式和参数表示曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：。在此方程屮，一个兀值与一个y值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。如果一个平面曲线方程，表示成/(x,y)=0的形式，我们称之为隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数/(x,y)是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。对于非参数表示形式方程(无论是显式还是隐式)存

2、在下述问题：1.与坐标轴相关；2.会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)；3.对于非平面曲线、曲血，难以用常系数的非参数化函数表示;4.不便于计算机编程。在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用f表示参数，平而曲线上任一点P可表示为:空间曲线上任一三维点P可表示为:戶("二［兀⑺，y(/),z(/)］；最简单的参数曲线是直线段，端点为巴、E的直线段参数方程可表示为:P(/)=Pi+(P2-Pi)l$［0,11；圆在计算机图形学屮应用十分广泛

3、，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显示表示为=的-/(0

4、点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。(2)便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。(3)由于坐标点各分量的表示是分离的，从而便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。(4)规格化的参数变量/G[O,1],使得界定曲线、曲面的范围十分简单。(5)易于用矢量和炬阵运算，从而大大简化了计算。二、位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为：x=x(r),y=y(r),z二z

5、(",OWfWl；1・位置矢量如图3.1.1所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为:P⑺二b(/),zWL其一阶、二阶和k阶导数矢量(如果存在的话)可分别表示为：dPdt图3.1.1表示一条参数曲线的冇关矢量2.切矢量若曲线上/?、Q两点的参数分别是/和什△『，矢量△片P(/+ZV)-P⑺,英大小以连接RQ的弦长表示。如果在R处有确定的切线，则当Q趋向于凡即&T0时，导数矢量趋向于该点的切线方向。如选择弧长5ripAP作为参数，则T=—=lim—是单位矢量。因为，根据弧长微分公ds&式有：(ds)2

6、=(dx)2+(dy)2+(dz丿2引入参数f,上式可改写为：(ds/df)2=(dx/dt)2+(dy/df)2+(dz/dt)2=『(球考虑到矢量的模非负，所以：故弧长S是r的单调增函数，其反函数Hs)存在，且一一对应，得P(t)=P(t(s))=P(s)于是:dP_dPdt_P#(t)■I—I■■I_IIdsdtds即T是单位切矢量。2.法矢量对于空间参数曲线任意一点，所有垂直切矢量T的矢量有一束，且位于同一平面上，该平面称为法平面，如图3.1.2所示。图3.1.2曲线的法矢若对曲线上任一点

7、的单位切矢为T,因为［T（5）］2=l,两边对s求导矢得•厂@）=0,可见竺是一个与薩直的矢量。与竺平行的法dsds矢称为曲线在该点的主法矢，主法矢的单位矢量称为单位主法矢虽，记为甌矢量积3=杲第三个单位矢量，它垂直于瞬口“。把平行于矢量B的法矢称为曲线在该点的副法矢，B则称为单位副法失量。对于一般参数I,我们可以推导出:旳)xF®

8、N=BxT=(PC)xF®)xP(f)1(^(0xr(0)x7X切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架，且N、B构成的平面称为法平面，N、:T构成

9、的平面称为密切平面，B、了构成的平面称为从切平面(化直平面)。2.曲率和挠率我们已经知道土与M平行,ds令Ts)=kN,k=

10、厂G)

11、=limIIATAs浚自答叫凹I營称为曲率'其几何意朋曲线的单位切矢对弧长的转动率仅II图3.1.3©)),与主法矢同向。曲率的倒数£=丄，称k为曲率半径。又⑸=0两边对s求导矢得：夕($).尸@)+乃@)了@)=0,将T=kN代入上式，并注意至i0(s).”G)=Q得到：Bs)T(s)=0,因为0(S)『=1,所以两边对S求导得到：BXs)B(