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1、探究存在性问题高2015级12班陈星佚在数学的探索型问题屮有一•类存在性问题，它常常提出这样的问题：某个数学对象是否存在，或某种特性是否成立？若存在，请求出这个对彖或论证该特性;若不存在，请说明理由。解这类问题的一般方法是：先假设所求的对象存在或特性成立，以此假设为依据进行求解或推理论证，若能对该对象求出结果，或在推理论证过程中没出现矛盾，得出了肯定的结论，则该假设成立，存在此数学对象或特性；若在求解或推理过程中得出矛盾，则假设不成立，即不存在该数学对象或特性。一、二次函数图像中的存在性问题(一)是否存在平行
2、四边形、梯形、正方形、长方形、菱形等例1已知二次函数y=ax1^bx+c(qhO)的图象经过点人(1,0),B(2,0),C(0,-2),直线x=m(m>2)与兀轴交于点D・(1)求二次函数的解析式；(2)在直线x=m(m>2)上有一点、E(点E在第四彖限)，便得E、D、B为顶点的三角形与以A、0、C为顶点的三角形相似，求E点坐标(用含加的代数式表示);(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出加的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由.分析：(
3、1)(2)略；(3)假设存在该点F,使得四边形ABEF为平行四边形。然后利用这一假设充当已知条件，运用平行四边形的性质对边平行R相等进行求解。解：(1)V二一卡+%-2(2—,27、(2)求得E]m,；E°(m,4-2m)•I2丿(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=点F的横坐标当点Q的处标为2-mym,2丿点片的朋标为心，学•••点耳在抛物线的图象匕...2___（加_］）2+3（加_］）_2,27m=—,m=2（舍去），2f53、:.F},.e3344II、当点E?
4、的坐标为（加昇一2加）时，点F?的坐标为（m一1,4一2m）,・・•点场在抛物线的图象上，4-2m=-（m-1）2+3（m-1）-2,m=2（舍去），m=5f・・・鬥（4,-6）,・；$口倔尸=1><6二6总结：解决此类问题，方法大同小异：先设存在一点（a,b）满足形成平行四边形，该点的坐标用二次函数点的坐标表示。再根据平行四边形的性质进行验证（两组对边平行或相等，一组对边平行且相等，对角线互相平分等等性质）。若不满足，则不存在；若满足，则存在。是否存在梯形、正方形、长方形、菱形等问题，方法类似，不再重复。注
5、意：观察题目中是某对该点的位置进行了限定，若没有，则应注意是否需要分类讨论。（二）是否存在使题目中的面积关系成立的点例2如图，抛物线y=ax2+c（a>0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在兀轴上，其中A（-2,0）,B（-1,-3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点M为y轴上任意一点，当点M到4、B两点的距离Z和为最小时，求此时点M的处标；（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使Sm°=4Sww成立，求点P的坐标.图2解：(1)、因为点4、B均在抛物线上，故点4、B的处标适合抛物线方程4a+c=
6、0a+c=-3a=1°解之得：；故y=x2-4为所求c=-4(2)如图2,连接BD,交丿轴于点M,则点M就是所求作的点设BD的解析式为y=kx+b，则有2k+b=0—k+b=—3=-x2a/2xV2=2；设P(x,兀2一幻,-ADx2-4=4x2,即：-x4X2-422依题意有:4x2图3然后根据等底三角形高之比等于面积之比、故〃D的解析式为y=x—2；令x=0,则『=—2,故M(0,—2)⑶、如图3,连接AM,交丿轴于点N,由(2)矢口，0M=0A=0D=2,ZAMB=90°易知BN=MN=,易求AM=2
7、>/2,BM=近解之得：x=±2V2,x=0,故符合条件的P点有三个:Px(2>/2,4),P2(-2>/2,4),P3(0,-4)总结：解决此类问题，同样也是设存在满足条件的一个点,等高三角形底之比等于面积之比、余弦定理、或直接将面积表示出来，列比例方程求解等方法判断是否存在该点。注意：若两个图形的位置相差太远，则需连接辅助线，进行面积转换。(三)是否存在满足题目中的线段关系的点例3己知抛物线y=a/+bx+c(aH0)顶点为C(1,1)过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=—4作垂线，垂足为M,连
8、FM(如图).(1)求字母a,b,c的值；3(2)在直线x=l上有一点F(l,-),求以PM为底边的等腰三和形PFM的P点的坐标，并证明此时APPM4为正三角形；(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在5请说明理由.解：(1)a=—hb=2,c=0(2)过P作总线x=l的垂线，可求P的纵处标为丄，横坐标为1+丄巧.此时，MP=MF=PF=
