资源描述：
《第13章回归分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十三章回归分析本节我们主耍线性回归分析。13.1一元线性回归分析在实际问题中我们常常要寻找存在于两个（或多个）变量之间的关系，它们Z间有一定的关系，然而这种关系并不完全确定。例如，正常人的血压与年龄有一定关系，一般讲年龄人的人血压相对地高一些，但是他们之间就不能用一个确定的函数关系式表达出來。为了深入了解它们的关系，往往需要我们去寻找它们的数量表达式。先看一个例子。例1测得某种物质在不同温度兀下吸附另一种物质的重量y如下表所示:温丿芟Xj（C°）1.51.82.43.03.53.94.44.85.0吸附量X（mg）4.85.77.08.3
2、10.912.413.113.615.3表1如果我们重复做这些试验，在同一个温度兀下，所测得吸附另一种物质的垂量y也不完全一致。把这9对数据画出散点图1,从图上我们发现随着温度x的增加，吸附量y也增加，□这些点（£,兀）0=1,2,・・・,9）近似在一条直线附近，但乂不完全在一条直线上。引起这些点（兀，兀）与直线偏离的原因有两个，其一是本身温度和吸附量存在的内在关系，其二是在温度兀下观察吸附量儿存在着一些不可控制的因素。图1吸附最这样我们可以把观测结果y看成是由两部分亞加而成的，一部分是由兀的线性函数引起的，记为0（）+0』，其中少二仇+肉
3、兀就是图1中显示的那条直线，/?（）,肉还需要估计；另一部分是山随机因素引起的，记为£o即y=0（）+处+£（d由于我们把£看成是随机误差，由中心极限定理知，假定W服从N（（）q2）是合理的，这也就意味着假定y〜N（0°+0
4、兀qJ'其屮，E（y）=0（）+0］兀o在（1）小兀是一般变量，它可以精确测量或可以加以控制，y是可观测其值的随机变量，0o,是未知参数，£是不可观测的随机变最，假定£服从N（0q2）。综上所述，我们得到一般的数学模型。通过观测，获得了〃组独立的观测数据（心”）,心1,2，…屮，则一元线性回归模型为片=0o+0K+®•
5、，心1,2,…/'各®独立同分布，均服从N（0,/）'-<*也可以简单地记为儿，>‘2,…,儿相互独立，且升~N（0o+0內,/）,：=1,2,…/o当in观测值获得未知参数0（）,0』勺估计B『B后，得到的方程》=BX称为），关于兀的一元线性回归方程。对于一元线性回归模型，我们要解决如下三个问题：（1）根据观测值（R,兀）0=1,2,•••‘）去估计未知参数0o，0i，从而建立y与兀的数量关系式（称为回归方程）。（2）对以上得到的数量关系式的可信度进行统计检验。（3）对某个兀，在一定的可靠度下來预测y在什么区间中。13.1.1参数0o
6、,0i的最小二乘估计我们想找的回归方程y=p（）+^x是耍使观测值（乞』•）（,=1,2,・・・‘）从整体上比较靠近它。用数学的话來说就是要求观测值兀与其拟合值间的偏差平方和达到最小。设给定斤个点（x.,yz）（z=1,2,•••,«）,y=0o+0］兀为一条直线,记Q（0O'01）=工卜厂（00+01兀）］2⑶/=1Q（0o，0i）就是误差平方和，它反映全部的观测值与直线的偏离程度。因此，0（0（），01）越小，观测值与直线拟合得越好。所谓的最小二乘法就是使0（0（）,0
7、）达到最小的一种估计00,01的方法。如果00,01满足0（A^i
8、）=min0（炕,"J一8<〃（）、/>
9、<00那么称久，介分别是00,肉的最小二乘估计。下面来求几、0］的最小二乘估计。由于Q（0o，0
10、）是00,01的一个非负二元函数，故其极小值一定存在，根据微积分的理论知道只要求0（00仏）对0（”0』勺一阶偏导数为0，即訪Q（0°,0J爲如=0翕Q（0o,0J爲如=°_2立（）1_札-BX）=0/=!一2工（兀一A）-Pxi^xi=o、/=1整理示得吃+（D）A/=1i=lV（S兀•）九+（£xi）A=Si、i=l/=1/=1通常称（4）为止则方程组，解Z得£（兀-丘）®-刃B、=/=!在具体
11、计算时，常记”””(5)—=工（兀-元）2=》兀「一啸2=工（兀一可无/=!1=1/=!lyy=£(•%-刃2=£〉『-呵2=£(X-刃兀(6)/=!/=1/=1lXy二工（兀一丘）（X~y）=工心兀-W二工a-元）X（7）这样，00，禹的最小二乘估计可以表示为^=y~^<.I0广产^-XX因此，可得到回归方程为(9)y=A)+BX=y+p](x-x)此回归方程在平面直角坐标系中必过（0,久）与G］）两点。例2由例1的数据算得壬=3.3667,y=10.1222I=13.0980,/vv=114.5196,(=38.38433838431
12、3.0980"人Va>=2.930330=y~^x=10.1222-2.9303x3.3667=0.2568回归方程为9=0.2568+2.9303兀。下面不加证明地罗列最小二乘
