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1、观察•探究•猜想•证明展学随着《全日制义务教育数学课程标准》实验活动的深入，各地中考数学试卷中的探索性试题逐年增多，特别在2004年的试题中，加大了结论开放与探索的力度。可以预测：探索性问题将仍是中考命题追求的EI标。下而例说解这类问题的常川方法：观察、探究、发现、证明。一、探究直线和恻的位置关系例1.(2004年北京市中考题)已知：如图1,ZACG=90°,AC=2,点B为CG边上的一个动点，连结AB,将厶ACB沿AB边所在的直线翻折得到AADB,过点D作直线DF丄CG于点F。(1)当BC=创3吋，判断直线FD与以AB为直径为的位置关系，
2、并加以证明;3(2)略。图1分析：要判断直线FD与以AB为宜径的OO的位置关系，不如先动手画岀以AB为直径的OO,观察发现0OA/直线FD有一个公共点，考虑到画出的图形有误差，所以只能猜想直线与OO可能相切，要正确判断出直线FD是的切线还盂要证明。怎样证明直线FD与(DO相切于点D呢？根据切线的判定定理，不但耍证明点D在0O±,而且耍证明半径OD垂直于直线FD。证明：如图1,作以AB为直径的OO,连结DO因为AADB是将AACB沿AB边所在的直线翻折得到的所以ZADB=ZACB=90°,ZBAD=ZBACI大I为O是AB的中点所以所以点d在
3、a上AC=2npi在RtAACB中，BC=—,3所以tanZBAC=—=—AC3所以ZBAC=30°=ZBADC所对的恻心/fjZBOD=2ZBAD=6()°在RtAACB中，ZABC=90°-ZBAC=60°所以ZABC=ZBOD,所以FC〃DO因为DF丄CG,所以ZODF=ZBFD=90°所以FD丄OD丁点D乂OD是OO的半径，所以FD是(30的切线二、探究两个角的数量关系例2.（2004年福州市中考题）已知：如图2,AB是OO的一条弦，点C为的中点，CD是G＞0的直径，过（3点的直线/交AB所在直线于点E,交OO于点F。图2（1）判定
4、图中ZCEB与ZFDC的数量关系，并写出结论；（2）将直线/绕＜2点旋转（与CD不重合），在旋转过程中，E点、F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出/在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形,标上相应字母，选其屮一个图形给予证明。DD备用图a爸用图b解：（1）通过观察，发现ZCEB与ZFDC都是ZFCD的余介，所以ZCEB=ZFDC。（2）在两个备用图中分别画出了符合条件的直线Z。证明：（备用图b）。nCD是OO的直线，又C是的中点，由垂径定理推论，知CD丄AB,所以ZCEB+ZFCD=90°o因为CD是＜30的直径所以ZC
5、FD=90°,所以ZFDC+ZFCD=90°因此ZCEB=ZFDC三、探究与已知线段相等的线段例3.（2004年西宁市中考题）cn已知：如图3,AB是OO的直径，直线/与OO相切于点C,AC=AD,CD交AB于E,BF丄垂足为F,BF交OO于G。（1）图3中哪条线段与AE相等？试证明你的结论。（2）若tanZCBF=-,AE=3,求（DO的直径。(1)分析:ACEA证得。GF=AE。此结论nfrhACFG^证明：Z与OO相切于点C,所以弦切角ZFCG=ZFBC乂ZCFG=ZBFC,所以△FCG^AFBC,所以ZFGC=ZFCB因为弦切角ZF
6、CB=ZCAE所以ZCGF=ZCAEnc因为AB是OO的直径，AC=AD,由垂径定理推论知AB丄CD于点E,乂BF丄/于点F所以ZCFG=ZCEA=90°因为AB是的直径所以ZACB=90°=ZCFB又ZCAB=ZFCB,所以AACBsACFB所以ZABC=ZCBF又CE丄AB,CF±BF,所以CF=CE在ACFG和ACEA中，ZCFG=ZCEA,ZCGF=ZCAE,CF=CE所以△CFG^ACEA,所以GF=AECC(2)略解：由AC=AD^UZACE=ZABC=ZCBFtanZACE=tanZCBF=1ATAJ71因为ta—苛所以莎匕因
7、为AE=3,所以CE=6由勾股定理,AC2=AE2+C£2=45在RtAABC中，CE丄AB,由射影定理，AC2=AEAB4严45所以人〃=—5^=一=15,故求得OO的直径为15。AE3四、探究两条线段乘积的关系例4.(2004年济南市中考题)已知半径为R的。CT经过半径为r的OO的I员1心，OO与OCT交于E、F两点。(1)如图4(a),连结OCT交OO于点C,并延长交OCT于点D,过C作OO的切线交0OfTA>B两点，求OA-OB的值；图4（a）（2）若点C为0O±一动点。①当点C运动到OCT内吋，如图4（b）,C作的切线交OCT于A
8、、B两点，则OA・OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由。图4（b）②当点C运动到OCT外时，过点C作＜30的切线，若能交OCT于A、B两点，如图4（c）,则OA・O
