浅论费马小定理

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1、独创性声明本人声明所呈交的学位论文是木人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，除了文屮特别加以标注和致谢的地方外，论文屮不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：日期：学位论文版权使用授权书本学位论文作者授权长江师范学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后适用本授权书）学位论文作者签名：指导教师签名：日期：日期：费马小定理是数论中重耍定理Z—。它不仅仅可以解决

2、很多数论中的问题，还可以证明很多数论中的重要定理，它在索性检验中也冇很多应用。木论文第一章简单阐述了费马小定理的历史背景以及要证明费马小定理的准备知识，用六种不同方法对费马小定理进行了证明。笫二章阐述了主要阐述了费马小定理在素性检验中的应用,给111了Solovay-Strassen素性测试算法。关键词：费马；费马小定理；素性判别；素数ABSTRACTFermat^littletheoremisoneofmostimportanttheoremsinnumbertheory.Itcannotonlysolvemanyproblems,butalsocanprovealot

3、ofimportanttheoremsinnumbertheory.Ithasalotofapplicationsinprimalitytest.Inthispaper,thefirstchaptersimplyexpoundsthehistoricalbackgroundandpreparedknowledgeofFermat'slittletheorem.WeusesixdifferentmethodstoproveFermatfslittletheorem.AndthesecondchaptermainlyexpoundstheapplicationsoftheFe

4、rmat'slittletheorem,Solovay-Strassenprimalitytestispresented・Keywords:Fermat;Fermat^littletheorem;primalitytest;primenumber引言1一、费马小定理1（一）费马小定理的内容1（二）费马小定理的历史背景1（三）证明费马小定理的预备定理2（四）费马小定理的证明2二、费马小定理在素性检验中的应用6（一）Solovay一strassen测试7小结9参考文献10致谢11费马小定理是初等数论屮的重要定理，在定理的证明和解题过程中起着核心的作用，一肓以来众多数学爱好者对

5、费马小定理的研究取得了一个又一个的突破，如欧拉的证明方法等；对费马小定理的应川研究一直以來也是数学家们的追求，如4KS测试。本论文主要研究了两个方面的问题：首先是研究了费马小定理的证明方法并对其进行归纳总结，这些证明方法小有些简便易懂，有些方法闪烁着智慧的光芒；其次是对费马小定理的应用进行研究，费马小定理的应用范围非常广泛，不但在数论中广泛，而且在国际数学赛上也得到了非常广泛的应用。本论文主要研究了费马小定理备受亲睐的应用，以Solovay-Strassen素性测试算法为典例，研究一直受数学家关心的素数判别问题，并结合这种算法休验费马小定理这个璀璨的明珠。费马小定理（一）

6、费马小定理的内容费马小定理是说：当p是一个素数时，对任意的整数Q都冇:如果d不是0的倍数，ap=tz(modp)即(d,p)=l,这个定理也可以写成：ap~l三l(modp)费马小定理的是数论屮重要的定理2—，它在实际应用中也非常广泛，更为素数检测奠定了理论棊础,如文中提到Solovay-strassen测试，还有米拉拉宾测试，AKS索性测试等等。（二）费马小定理的历史背景费马，于1601年8刀17日在法国出生，大学毕业以后，费马在家乡图卢兹｛Toulouse）当上了图卢兹议会的议员。精通多种语言，如意大利语、西班牙语、希腊语等等。他的一个业余爱好就是对数学的研究。他深入

7、的研究了古希腊数学家阿棊米德（公元前287年一公元前212年）、丢帝图（Diophantus,约公元246-一330年）、帕波斯（Pappus,约300-一350）以及与他较近的韦达（闪刃幺，约1540--1603）等人的著作，是近代数论的开拓者。费马小定理最早出现于公元1640年，费马写给友人梅森的一封信上，并在信中表明自己已经知道如何证明这个定理，只是因为纸张的空间狭小致使不能写下定理的证明方法。正式发表的证明方法大约是100年后的数学家欧拉｛Euler）提出，欧拉所用的方法就是利用二项式定理的方法，不过后来发现数学家莱布