《函数对称性的探究》论文

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1、函数对称性的探究函数是小学数学教学的主线，是小学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基木性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题Z中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。木文拟通过函数自身的对称性和不同函数Z间的对称性这两个方而来探讨函数与对称有关的性质。1函数自身的对称性探究定理1•函数y二f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a—x)=2b证明：(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点,•・•点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'(2a-x,2b-y

2、)也在y=f(x)图像上,2b-y=f(2a~x)即y+f(2a—x)=2b故f(x)+f(2a—x)=2b,必要性得证。(充分性)设点P(xo,yo)是y=f(x)图像上任一点，则yo=f(x0)*.*f(x)+f(2a—x)=2b・：f(xo)+f(2a—Xo)=2b,即2b—yo=f(2a—Xo)。故点P'(2a—x(),2b-y0)也在y=f(x)图像上,而点P与点P‘关于点A(a,b)对称，充分性得征。推论：函数y二f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(—x)=0定理2・函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a

3、-x)(证明留给读者)推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(—x)定理3.①若函数y二f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(aHb),贝Uy=f(x)是周期函数，且2la-bl是其一个周期。%1若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(aHb),贝ijy=f(x)是周期函数，且2la-bl是英一个周期。%1若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(aHb),贝Ijy=f(x)是周期函数,且41a—bl是其一个周期。①②的证明留给读者，以下给出③的证明：・・・函数y=f(x)图像既关于点A

4、(a,c)成屮心对称,/.f(x)+f(2a—x)=2c,用2b—x代x得:f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c(*)又・・•函数y二f(x)图像直线x二b成轴对称，・•・f(2b-x)=f(x)代入(*)得:f(x)=2c—f[2(a—b)+x](**),用2(a—b)—x代x得f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得:f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函数,且41a-bl是其一个周期。3不同函数对称性的探究定理4・函数y=f(x)与y=2b—f(2a—x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。定理5・①函数y=f(x)与y=f(2a—x

5、)的图像关于直线x=a成轴对称。%1函数y二f(x)与a—x=f(a—y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。%1函数y二f(x)与x—a二f(y+Q的图像关于直线x—y=a成轴对称。定理4与定理5111的①②证明留给读者，现证定理5屮的③设点P(xo,yo)是y=f(x)图像上任一点，贝Ijyo二f(xo)。记点P(x,y)关于直线x—y=a的轴对称点为P(xi，yi),则Xi=a+y(),yi=x0—a,/.xo=a+yi,y0=xj—a代入y0=f(xo)之中得Xi—a=f(a+yi)/.点P(xpyi)在函数x—a=f(y+a)的图像上。同理可证：函数x—a=f(y+a)的图像上任一点关

6、于直线x—y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。推论：函数y二f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。4三角函数图像的对称性列表函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx3,0)X=kTT+TT/2y=cosx(kTT+TT/2,0)X=kTTy=tanx(ku/2,0)无注：①上表中kWZ②y=tanx的所有对称屮心坐标应该是(kTT/2,0),而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y二umx的所冇对称中心坐标是(kTT,0),这明显是错的。5函数对

7、称性应用举例例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5—x)二f(5+x),则f(x)一定是()(第十二届希望杯高二第二试题)(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：・・・f(10+x)为偶函数，・・・f(10+x)=f(10—x).・・・f(x)有两条对称轴x=5^x=10，因此f(x)是以1