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1、例谈一题多解在习题课中的运用摘要：习题课是高屮数学常见的一种课型，通过习题教学与练习，使学生巩固新知、培养技能、纠正错误、完善知识体系。本节习题课以一道立体几何题为例，从三个方面探究线面角的求法，通过一题多解，吸引学生学习数学的兴趣，即解决了线面角的求法，又提高了学生的数学思维能力。关键词：习题课；一题多解；立体几何；线面角在高中数学的教学过程中，笔者认为要上好习题课，要从有限的例题和习题上下工夫，采取一题多解的形式进行教学。对一道题采用不同的方法、对一类问题的多种解法采用同一道例题，这样不仅节省了时间、减轻了学牛的负担、教授了解题技巧，更重要的是通过不同的
2、思路去引导学牛讲述各自的解题思路及算法，沟通解与解之间的联系，促进学生思维发展,提高沖4:的数7思维能力丹I学习数学的兴趣o例如：在讲授如何求解线面角的时候，笔者以一道立体几何题为例，从三个方面探究线面角的求法。例题：四棱锥S-ABCD屮，AB〃CD,BC丄CD,侧面SAB为等边三角形。AXBC二2,CD二SD二1。(1)证明：SD丄平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值。在第二问求解线面角的大小时，可从三个角度进行研究：(1)利用定义寻找线面角的位置直接求解；(2)借助点到平面距离间接求解；(3)建立空间直和坐标系，利用法向量求解。方法一：利
3、用定义寻找线面角的位置直接求解（1）-般在斜线L上找一点A,过该点作平面的垂线，斜足0与垂足B的连线0B为斜线在平面内的射影，则射影与斜线所成的角即为该斜线与平面所成的角。解法1：如图，因为CD〃AB,所以CD与平面SBC所成的角即为AB与平面SBC所成的角。取SC中点M,连结BM,DMo因为DS二DC,BS=BC,所以SC±DM,SC丄BM,所以SC丄平面BDM,所以平面BDM丄平面SBC,作DN丄BM,垂足为N,则DN丄平面SBC,连结CN,则ZDCN即为CD与平面SBC所成的角。因为SD丄AB,CD/7AB,SD丄CD,
4、SC
5、=B,
6、BM
7、=・，co
8、sZDBM=H,sinZDBM=H,DN=・？■二■,sinZDCH■二■二■所以AB与平面SBC所成的角的正弦值为■<>（2）过直线L做平面的垂面，直线L与交线的夹角即为线面角。解法2：由AB丄平面SDE知，平面ABCD丄平面SDE。作SF丄DE,垂足为F,则SF丄平面ABCD,作FG丄BC,垂足为G,连结SG。又FG丄BC,SF丄BC,SFQFG二F,故BC丄平面SFG,平面SFG丄平面SBC,因为FG//AB,所以FG与平面SBC所成的角Q即为AB与平面SBC所成的角。方法二：借助点到平面距离间接求解求直线上一点A到平面的距离h,该点与斜足的距离OA,
9、h与0A的比值即为线面角的正弦值，即sina二・。解法3：VA-SBC二VS-ABCVS-ABC=BSAABC
10、SF
11、=B?B
12、AB
13、
14、BC
15、
16、SF
17、=B?B?2?2?B=B如图，设A到平面SBC的距离为h,取SC中点M,连结BM,因为SD丄AB,CD〃AB,SD丄CD,
18、SC
19、=H,
20、BM
21、=B,VA-SBO・？・？・？・？h二・h,又所以h=・？■二■,即A到平面SBC的距离为・。又因为AB=2,设AB与平面SBC所成的角为a,贝ljsina=■=■=■,所以AB与平面SBC所成的角的正弦值为・。方法三：建立空间直角坐标系，利用法向量求解建立空间直角坐标
22、系，求平面的法向量，直线与法向量所成角的余弦值即为线面角的正眩值。解法4：如图，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角处标系C-xyzoD(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0)。因为平面SDE丄平面ABCD,CD=1,DF=B,SF=B,所以S(1,■,・)。设平面SBC的法向量■二(x,y,z),■=(1,-■),■二(0,2,0),故x-By+Bz=0?圮■二(-■,0,2)2y二0又■二(-2,0,0),cos・，■二■,故AB与平面SBC所成的角的正弦值为・。本节习题课通过对一道例题的剖析，把线面角定义、点到平面的距离、建立空间直角坐标
23、系及利用法向量解题等知识有机地联系起來，完善了学生的知识结构，提高了学生的解题能力，真正达到了培养学生发散思维的H的。习题课教学耍使学生在探究教师精心编制的习题过程中拓宽学习领域，在教师的帮助下让学生解决一个个具体的问题，使其获得成功的体验,进一步提高分析问题、解决问题的能力，从而增强学好数学的信心。
