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1、第九章插值与拟合插值：求过已知有限个数据点的近似函数。拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。§1插值方法下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite插值和三次样条插值。1.1拉格朗日多项式插值1.1.1插值多项式用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数f(x)在区间[
2、a,b]上n+1个不同点x,x,L,x处的函数值y=f(x)(i=0,1,L,n)，求一个01nii至多n次多项式nϕ(x)=a+ax+L+ax（1）n01n使其在给定点处与f(x)同值，即满足插值条件ϕ(x)=f(x)=y(i=0,1,L,n)（2）niiiϕ(x)称为插值多项式，x(i=0,1,L,n)称为插值节点，简称节点，[a,b]称为插值区ni间。从几何上看，n次多项式插值就是过n+1个点(x,f(x))(i=0,1,L,n)，作一条ii多项式曲线y=ϕ(x)近似曲线y=f(x)。nn次多项式（1）有n+1个待定系数，由插值条件（2）恰好给出n+1个方程2n
3、⎧a+ax+ax+L+ax=y01020n00⎪2n⎪a0+a1x1+a2x1+L+anx1=y1⎨（3）⎪LLLLLLLLLLLL⎪2na+ax+ax+L+ax=y⎩01n2nnnn记此方程组的系数矩阵为A，则2n1xxLx0002n1xxLx111det(A)=LLLLLLL2n1xxLxnnn是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当x,x,L,x互不相同时，此行列式值不为零。因01n此方程组（3）有唯一解。这表明，只要n+1个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。插值多项式与被插函数之间的差R(x)=f(x)−ϕ(x)nn-175-称
4、为截断误差，又称为插值余项。当f(x)充分光滑时，(n+1)f(ξ)R(x)=f(x)−L(x)=ω(x),ξ∈(a,b)nnn+1(n+1)!n其中ωn+1(x)=∏(x−xj)。j=01.1.2拉格朗日插值多项式实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数(x−x)L(x−x)(x−x)L(x−x)0i−1i+1nl(x)=i(x−x)L(x−x)(x−x)L(x−x)i0ii−1ii+1innx−xj=∏,(i=0,1,L,n)j=0xi−xjj≠il(x)是n次多项式，满足i⎧0j≠ili(xj)=⎨⎩1j=i令⎛⎞nn⎜nx−x⎟jL
5、n(x)=∑∑yili(x)=yi⎜∏⎟（4）i==00i⎜j=0xi−xj⎟⎝j≠i⎠上式称为n次Lagrange插值多项式，由方程（3）解的唯一性，n+1个节点的n次Lagrange插值多项式存在唯一。1.1.3用Matlab作Lagrange插值Matlab中没有现成的Lagrange插值函数，必须编写一个M文件实现Lagrange插值。设n个节点数据以数组x0,y0输入（注意Matlat的数组下标从1开始），m个插值点以数组x输入，输出数组y为m个插值。编写一个名为lagrange.m的M文件：functiony=lagrange(x0,y0,x);n=len
6、gth(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end-176-1.2牛顿（Newton）插值在导出Newton公式前，先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。1.2.1差商定义设有函数f(x),x,x,x,L为一系列互不相等的点，称012f(x)−f(x)ij(i≠j)为f(x)关于点x,x一阶差商（也称均差）记为f[x,x]，即ijijx−xijf(x)
7、−f(x)ijf[x,x]=ijx−xij称一阶差商的差商f[x,x]−f[x,x]ijjkx−xik为f(x)关于点x,x,x的二阶差商，记为f[x,x,x]。一般地，称ijkijkf[x,x,L,x]−f[x,x,L,x]01k−112kx−x0k为f(x)关于点x,x,L,x的k阶差商，记为01kf[x,x,L,x]−f[x,x,L,x]01k−112kf[x,x,L,x]=01kx−x0k容易证明，差商具有下述性质：f[x,x]=f[x,x]ijjif[x,x,x]=f[x,x,x]=f[x,x,x]ijkikjjik1.2.2Newton插
