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1、“空间向量与立体几何”中的数学探究课题510631华南师范大学数学系何小亚数学探究是高中数学新课程的重要内容。在2003年4刀颁布出版的《普通高中数学课程标准(实验稿)》屮规定：“数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题,自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。”进行数学探究的H的主要是，为学生引入一种新的学习方式，使学生经历提岀概念和结论的过程，体验数学发现、创造的研究过程,形成勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力，提高学生的创新精神和
2、实践能力。教师不但要成为学生进行数学探究的组织者、指导者・合作者,还应成为数学探究课题的创造者，为学牛•提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料。为此，笔者在这方面做了一点尝试。以下是笔者为高屮数学新教材设计的一个数学探究的案例。1.数学家的思维方式一说起数学，人们常常想到数学推理的严谨性和数学结论的确定性。对此，十七毗纪文艺复兴时期英国思想家，费兰西斯•培根(Francis.Bacon)曾经有过一个著名的论断:“读史使人明智，读诗使人灵秀，演算使人精密，……。一个思维不集中的人，他可以研习数学，因为数学稍不仔细就会出错。”显然，思想家只向我们展示了数学思维的一面
3、。追溯数学发展的历史,可以发现，数学不仅需要精密的演算、严谨的论证和精确的结论，数学更需耍的是创造。数学家在进行创造吋，逻辑演绎并不是最重耍的，最重要的是特殊化、推广、归纳、类比这些不严谨的思维方式。対此，数学家拉普拉斯说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳和类比。”类比是根据两个不同对象在某些方而的相同或相似而推断它们在其它方而也具有类同之处的思维方式。尽竹类比的可靠性较弱，但类比却是发现和创造的利器。通过类比，数学家把口然数的运算规则推广到整数、有理数、实数、复数；通过类比，数学家可以从简单问题的研究方法得岀复杂问题的研究方法；通过类比，我们可以把平面图形
4、的研究引向立体图形的研究。2.类比就在眼前平面直饬坐标系与空间直角坐标系分属二维平面和三维空间两个完全不同的领域，我们把它们的相关内容进行对比。二维平面三维空间平而直角坐标系oxy空间直角坐标系oxyz点的坐标：P(x,y)点的坐标：P(x,y,z)两点P
5、(x],y
6、),P?(x2，歹2)间的距离公式两点Pj(x!,y!,Zj),P2(x2,y2,z2)间的距离公式PlP2=^x2-xl)2+(y2-yXp2
7、=V^x2~xY2~yi)2+(^2_^i)2直线方程：Ax+By+C二0平面方程：?■点到直线的距离公式：Axq++Ca/a2+B2点到平面的距离公式
8、：?■请类比猜想空间肓角坐标系下的平面方程与点到平曲的距离公式。1.点到直线的距离公式的简单证明类比本章点到直线的距离公式的证明，我们可以证明点到平面的距离公式。不过，就我们目前所掌握的知识而言，此时的类比并不容易。如何克服证明的障碍呢？美国数学家波利亚(G.Polya)为我们指明了思维方向。他说：“如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此相关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特姝的问题？一个类比的问题？……”按数学家的思维方式，我们先探究点到直线的距离公式的简单证明，而这一证明方法容易类比到三维空间。下面就是点到直线的距离公
9、式的简单证明。设P(x0,y0)关于直线儿Ar+By+C二0的对称点为P'(x；y'),则/为PP的垂直平分线，于是/的方程也可以写为为：Jd—JC°)2+(y—y°)2=J(兀—y)2+(y—，化简得:2(xf-x0)x+2(yf-y0)y+(x^-xz2)+(y^-yf2)=0.比较百线/的方程的两种形式，并注意到系数A和B不全为零，可知，它们的系数相差2(xz-x0)=M,(1)一个非零常数，不妨设为即2()「一儿)=肪，(2)(爲—严)+(滋—y2)*c(3)((l)xx()+(2)xy()+(3),得k2k(Ax{}+By0+C)=-y(A2+B2)O于是
10、,4⑷o+By()+C)A2+B2=一4加(其中加=Ax{}+By()+CA2+B2)o由(1)和(2)得点的坐标为xF=x0-mA.yF=儿一〃b.故直线I与总线PPf的交点Fg,“)的处标为所以，点P到肓线/的距离d=PF=』(兀0-心)2+(儿一*)2=』(网2+5B)2=mylA2+B2,叫」山叮砒1.类比上述证明方法，证明点到平面的距离公式。2.“牛刀”小试你已经提岀并证明了点到平面的距离公式，也就是说，你手头乂多了一把解决问题的利器。请你解决下面的问题：设正方体AC'的棱长为Q，E,F,G分别是棱AABC,CCr的中点。试求点B'到平面EF
