椭圆标准方程考点分析及例题讲解

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1、椭圆标准方程考点分析及例题讲解考点：1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__常数__(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆．这_两个定点_叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距__．思考探究定义中，将“大于

4、F1F2

5、”改为“等于

6、F1F2

7、”或“小于

8、F1F2

9、”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当常数等于

10、F1F2

11、时，点的轨迹是线段F1F2；当常数小于

12、F1F2

13、时，不表示任何图形．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程___________(a>b>0)__________(a

14、>b>0)焦点________________焦距

15、F1F2

16、＝________a，b，c的关系________思维聚焦1、椭圆定义的理解：设两定点F1、F2，点到F1、F2的距离之和为2a(1)当2a>

17、F1F2

18、时，点的轨迹是椭圆．(2)当2a＝

19、F1F2

20、时，点的轨迹是以F1、F2为端点的线段．(3)当2a<

21、F1F2

22、时，点的轨迹不存在．2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；(2)设方程：①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b

23、>0)；②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)；(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；-11-(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求.考点一、椭圆的定义例1、如图所示，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A、B两点，F1是椭圆的左焦点．(1)求△AF1B的周长；(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？分析：因为A、B在椭圆上，所以由椭圆的定义可知

24、AF1

25、＋

26、AF2

27、＝2a，

28、BF1

29、＋

30、BF2

31、

32、＝2a，故

33、AF1

34、＋

35、BF1

36、＋

37、AF2

38、＋

39、BF2

40、＝

41、AF1

42、＋

43、BF1

44、＋

45、AB

46、＝4a为常数．解：(1)如上图，由题意知，A、B在椭圆＋＝1上，故有

47、AF2

48、＋

49、AF1

50、＝2a＝10，

51、BF1

52、＋

53、BF2

54、＝2a＝2×5＝10，

55、AF2

56、＋

57、BF2

58、＝AB，∴△ABF1的周长＝

59、AF1

60、＋

61、BF1

62、＋

63、AB

64、＝

65、AF1

66、＋

67、BF1

68、＋

69、AF2

70、＋

71、BF2

72、＝(

73、AF1

74、＋

75、AF2

76、)＋(

77、BF1

78、＋

79、BF2

80、)＝2a＋2a＝4a＝4×5＝20.∴△AF1B的周长为20.(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不

81、变，因为

82、AF1

83、＋

84、BF1

85、＋

86、AB

87、＝

88、AF1

89、＋

90、BF1

91、＋

92、AF2

93、＋

94、BF2

95、＝(

96、AF1

97、＋

98、AF2

99、)＋(

100、BF1

101、＋

102、BF2

103、)＝4a，与AB和x轴是否垂直无关．点拨：本题充分利用了椭圆的定义来解决三角形周长的问题．变式训练1.平面内，若点M到定点F1(0，－1)、F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹为(　　)A．椭圆　　　　　　B．直线F1F2C．线段F1F2D．直线F1F2的垂直平分线解析：

104、MF1

105、＋

106、MF2

107、＝2＝

108、F1F2

109、，所以点M的轨迹为线段F1F2.2.下列说法中，正确的是(　C　)-11-A．

110、平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B．与两个定点F1、F2的距离和等于常数(大于

111、F1F2

112、)的点的轨迹是椭圆C．方程＋＝1(a>c>0)表示焦点在x轴上的椭圆D．方程＋＝1(a>0，b>0)表示焦点在y轴上的椭圆解析：依据方程的结构特点．B中没强调平面内．1.设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件

113、PF1

114、＋

115、PF2

116、＝a(a>0)，则动点P的轨迹是(　　)A．椭圆B．线段C．椭圆、线段或不存在D．不存在[答案]　C[解析]　当a>

117、F1F2

118、＝6时，动点P的轨迹为椭圆；当a＝

119、F

120、1F2

121、＝6时，动点P的轨迹为线段；当a<

122、F1F2

123、＝6时，动点P的轨迹不存在．2.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和

124、PA

125、＋

126、PB

127、＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的(　　)A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵乙⇒甲且甲乙，∴甲是乙的必要不充分条件．3.椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　)A．20　　　B．12　　　C．10　　　D．6解析：∵AB过F1，∴由椭圆定义知∴

128、AB

129、＋

130、AF2

131、

132、＋

133、BF2

134、＝4a＝20.4.已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若

135、F2A

136、＋

137、F2B

138、＝12，则

139、AB

140、＝________.解析：

141、AB

142、＝

143、F1A

144、＋

145、F1B

146、＝(2a－

147、F2A

148、)＋(2a－

149、