椭圆经典精讲 例题 详细答案

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1、椭圆经典精讲1、基本概念、基本图形、基本性质题1、题面：集合的关系可表述为（）.A.B.C.D.A∩B=Ø答案：D.变式一题面：设双曲线的左，右焦点为F1，F2，左，右顶点为M，N，若△PF1F2的一个顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点的位置是(　　)A．在线段MN的内部B．在线段F1M的内部或NF2内部C．点N或点MD．以上三种情况都有可能答案：C.详解：若P在右支上，并设内切圆与PF1，PF2的切点分别为A，B，则

2、NF1

3、－

4、NF2

5、＝

6、PF1

7、－

8、PF2

9、＝(

10、PA

11、＋

12、AF1

13、)－(

14、PB

15、＋

16、BF2

17、)＝

18、AF1

19、－

20、

21、BF2

22、.所以N为切点，同理P在左支上时，M为切点．变式二题面：若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)A．至多1个B．2个C．1个D．0个答案：B.详解：由题意得＞2，即m2＋n2＜4，则点(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆＋＝1的内部．9题2、题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。若容器底面与桌面成角为，则这个椭圆的离心率是。答案：解题步骤：由图，短轴就是内径，长轴为，即：，.变式一题面：已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)

23、，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)A.B.C.D.答案：B.详解：由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝.又e＞0，故所求的椭圆的离心率为.9变式二题面：(2012·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)A.B.C.D.答案：C.详解：　由题意可得

24、PF2

25、＝

26、F1F2

27、，∴2＝2c，∴3a＝4c，∴e＝.题3、题面：椭圆与圆的公共点个数是。答案

28、：1.变式一题面：已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2.给出如下四个结论：①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；②a－a＝b－b；③＞；④a1－a2＜b1－b2.其中，所有正确结论的序号是(　　)A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③答案：C.详解：由已知条件可得a－b＝a－b，可得a－a＝b－b，而a1＞a29，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a－a＝b－b，知②正确；由a－b＝a－b，可得a＋b＝b＋a，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，＞不正确，即③不正确；∵a1＞b1＞0，a2＞b2

29、＞0，∴a1＋a2＞b1＋b2＞0，而又由(a1＋a2)(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a2＜b1－b2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.变式二题面：设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)(　　)A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能答案：A,详解：由已知得e＝＝，则c＝.又x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＝<＝2，因

30、此点P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内．2、关注几何（甚至就是平面几何）题4、题面：设AB是经过椭圆中心的弦，F是椭圆的一个焦点，则△ABF的面积最大值为.答案：.变式一题面：(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y9轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．答案：3.详解：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为，即＝，所以m2＋n2＝≥2

31、mn

32、，所以

33、mn

34、≤，又A，B，所以△AOB的面积为≥3，最小值为3.变式二题面：已

35、知椭圆方程为＋x2＝1，斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0，m)．(1)求m的取值范围；(2)求△MPQ面积的最大值．答案：(1)0

36、Q＝·

37、FM

38、·

39、x1－x2

40、＝，所以△MPQ的面积为(0