系统数学模型的建立

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1、第4章系统数学模型的建立4.1由原理图画功能方框图4.2建立系统微分方程的一般方法4.3系统的传递函数(系统函数)4.4系统数学模型的试验测定4.5系统的模拟4.1由系统原理图画功能方框图为了建立系统的数学模型，往往需要由系统的原理图画出系统的功能方框图。控制系统数学模型的建立，可以按照图4.1-1的基本步骤进行。图4.1-1建立系统数学模型的基本步骤例4.1-1试由图4.1-2所示水位控制系统原理图画出其功能方框图，并确定其控制方式。图4.1-2水位控制系统原理图解：由图4.1-2可知水箱为被控对象；水位实际高度Hy为被控量；用水Q2、进水压力、环境温

2、度等为扰动量；浮子为测量装置；电位计为比较计算装置；电动机、变速齿轮、控制阀为执行装置；由于电位计与电路底板的接点位置与水位的期望高度Hf相对应，故为被控量。此系统的功能方框图如图4.1-3所示。图4.1-3水位控制系统的功能方框图由图4.1-3可知，此系统属于“按偏差调节”的闭环负反馈控制系统。实际控制过程如下：当用水Q2使水箱的实际水位高度Hy与期望水位高度Hf出现偏差（由电位计与电路底板的接点位置设定），被浮子测量后，通过杠杆带动比较电位计的滑动触点，直接改变电动机电枢电压的极性和大小，经过变速齿轮改变进水控制阀的开启或关闭程度，调节进水量Q1的大

3、小，使水箱的实际水位高度Hy与期望水位高度Hf的偏差减小直至消除，Hy=Hf时，使电位计的滑动触点与电路底板的零电位相等，电动机因电枢电压为0而停转，系统处于一种新的平衡状态。由系统原理图画功能方框图的步骤根据例4.1-1的求解过程，可归纳“由系统原理图画功能方框图”的步骤如下：·首先由系统原理图确定被控对象，这是由系统原理图画功能方框图的主要矛盾，是关键；·其次由被控对象找到被控量、扰动量、控制装置与给定量；·最后对照三种基本控制方式的功能方框图模式，即可完成系统功能方框图的绘制。4.2建立系统微分方程的一般方法由系统的功能方框图及各功能方框的输入输出

4、动态关系，可以从入到出建立系统的微分方程组，消去中间变量后，就可得到系统的微分方程。这是一个最基本的方法，也是最笨的方法。对于线性系统，还可以利用Laplase变换，把系统的功能方框图变为动态结构图，通过等效化简，消去中间变量，直接求取系统的传递函数（系统函数）；或者把系统的功能方框图变为信号流图，通过Mason公式直接求取系统的传递函数（系统函数）。此外，还可用试验测定的方法建立系统的数学模型。4.2.1基本方法1）一般非线性数学模型的线性化一般而言，实际控制系统的元件都含有不同程度的非线性特性，如果采用非线性微分方程描述系统，就会导致求解过程的许多困

5、难。因此，只要不是典型的非线性问题，只要分析方法不使系统产生太大的误差，则允许在一定条件下将一般非线形模型近似为线性模型。小偏差法（小增量法）是常用的近似方法。小偏差法的前提条件是：系统仅在平衡工作点附近的小范围工作；小偏差法的实质是在平衡工作点附近足够小的范围内，用平衡点的切线来取代原来连续变化函数的非线性特性。小偏差法的示意图如图4.2-1所示。图4.2-1小偏差法的示意图（1）单变量非线性函数的线性化：若对连续的非线性函数y=f（x），在工作点A（x0,y0）附近展成Talor级数（4.2-1）考虑y0=f（x0），有（4.2-2）令，当增量很小时

6、，可以忽略的高次幂项，有如下近似（4.2-3）（2）双变量非线性函数的线性化：若是有两个或两个以上变量的非线性系统，可以采用与上述单变量线性化基本相同的方法。设非线性函数y=f（x1，x2），同样可在某工作点（x10，x20），用Talor级数展开，以同样的方法可求得Δy≈k1Δx1+k2Δx2（4.2-4）（3）注意事项：在上述小偏差线性化过程中，要注意以下几点①线性化参数ki的计算只适于小偏差情况；②入、出变量与系统的实际变化不能太大；③非线性特性必须连续可微；④典型非线性化问题需用第9章专门方法。（4）应用举例：例4.2-1设三相桥式可控晶闸管整流

7、电路的输入为控制角，输出为整流电压Ud，二者的非线性关系为，式中U2为交流电源的相电压有效值，U0为＝０时的整流电压。试对此表达式，在参考工作点（0，Ud0）附近，进行局部线性化处理。解：由单变量非线性函数的线性化方法有ΔUd=Ud-Ud0≈ksΔ=ks(-0)式中有ΔUd≈Δ=ksΔ若按约定省略增量符号Δ，可得Ud=ks，即：线性化处理后，Ud将随控制角 的ks倍线性变化。2）Laplace变换与传递函数（系统函数）（1）Laplace变换（详细介绍见中篇第7章）：①定义：对于一个t≥ 0时有定义的连续时间函数f(t)，若积分在复变量s的某区域内收敛，

8、则f(t)的单边拉氏正变换为（4.2-5）其中f(t)为原函数，F(s)为象函数