浅谈数学归纳法证明不等式

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1、浅谈数学归纳法证明不等式学校：石楼中学姓名：张丽蓉摘要数学归纳法是数学证明中的一个基木方法，归纳法在分析、探索数学问题中冇十分重要的作用，通过对数学问题的观察、分析、归纳而猜想出结论，并用数学归纳法证明是发现并证明数学问题的一种重要的思维方法。本文简单阐述了数学归纳法证明不等式的方法关键字：数学归纳法原理应用AbstractMathematicalinductionisabasicmethodinmathematicalconfirm.Ttisimportantinanalyticalandexploremathematicalproblem.Using

2、mathematicalinductionloconfirmproblemisaimportantmethodindiscorveringandproving・Throughobserving,analyzingandinducing,conclusioncanget.Keywords:Mathematicalinductiontheoryapplication1、简述数学归纳法归纳法是人类认识H然、认识社会及认识B我的重要思想方法，是寻找真理和发现真理的主要手段，科学上的无数定理、定律都是归纳的结果。归纳法分为完全归纳法与不完全归纳法两种，在事物出现的

3、各种口J能性冇限的悄况下，用完全归纳法口J以得出确定的结论。用数学归纳法证明一个命题的步骤分为清楚的两步：（1）验证当n取某一个自然数心（即对于此命题的“最小自然数”）时命题成立，说明命题在特殊情况下是正确的，其根据是H然数集的“最小数原理”[1]一即H然数集的每一个非空的了集必冇授小数。这步町称为归纳奠棊，是论证的基础，是命题得以成立的起点；（2）在假设当斤取某一自然数k（k＞n0）时结论正确的前提F,严格推导出当n取R的后继自然数k+1时命题也成立，说明命题的正确性是可以传递的，从而具有普遍性。这步可称为归纳递推，是关键，具基本构思是“找出在n=k+

4、1时命题也能表现为类似n=k时的结果”。因此，归纳递推的基本构思在于设法使用归纳假设。完成这两个步骤Z后，注意到证明步骤的完整与书写格式的规范，才可以也必须下结论:该命题对于一切自然数＞«0）都成立。3.数学归纳法应用[3,4,5]若与白然数有关的不等式证明题，可试用数学归纳法來证明，其证明的关键是；用假设n=k命题成立的条件来推断n=k+1命题成立的结论，耍解决这个关键，可运用多种方法和技巧，使有关自然数n的命题迅速获证。3.1放缩法用数学归纳法证明不等式的难点是:如何利用归纳假设，在变形中，把不等式进行放大或缩小。例如在和式中舍去一些止（负）项或增加

5、一些负（正）项，而使不等式的各项Z和变小（人）：在分式不等式中，可以通过放人或缩小分子或分母，从而使分式放大或缩小。例1:1+丄+丄+・・・+丄＜2—丄5丘2/»2）223-n2n证明:①当n=2时，1丄vl丄成立42②假设n=k吋，1+丄+丄+・・・+丄＜2—丄成立，2232k2k则n=k+l时，两边加（一）伙+1尸1厂2丄亠2k伙+1)2』+」+・•・+「+——2232k2伙+1)=2—<2—=2k（k+1尸R伙+1尸£+1根据①和②对任何n>2的自然数原不等式成立。评注:在分式屮千方百计，一凑假设，二凑结论，为向归纳假设靠近，分了需舍去1,分式k2

6、值缩小，但差2-反而放大R伙+1）2>n!;(n>2)证明：①当n二=2时,2»2不等式成立。②假设n=k时,>k!;(k>2)成立伙+1)+12k+1（R+1、+—•口（上式舍去一些正项而得）2I2丿于是>（R+1）•k=（k+1）!:.n=k+l时不等式成立③略评注；在和式中舍去一些正项，使式子向求证不等式转化。例3已知：三正数a,b,c成等差数列，公差〃工0。求证:对于〃〉1的整数永有a"+c>2b“o证明：设a=b-d,c=b+d%1当n=2U寸，左二a2+c2=(b-d)2+(b+d)2=2b2+2d2,・・・dHO,.・.2d2>O,.

7、a2+c2>2b2成立%1设n=k(k>2)时不等式成立，ak+ck>2bk,当n=k+l时ak+,+ck+,=a>ak+c・ck=(b-d)b>2M+d(ck-ak)=2bk+I+d(ck-ak)>2bk+,°若d>O,c>a>O,Xk>2,则ck>ak若dvO,则0vcva,k»2,则ckO,/.ak+1+ck+1>2bk+1成立。③根据①和②，原不等式对于大于1的整数成立。评y±：vak+ck>2bk,把ak+ck用21?代入,舍去正项d(ck-ak),使

8、问题得解。3.2、替代法为利用数学归纳法屮的归纳假设，有时需川某些数(项)代替变