课件：随机过程之概率论基础（南京邮电大学）

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1、随机过程南京邮电大学理学院胡国雷参考书：1.应用随机过程，林元烈编著，清华大学出版社；2.随机系统分析引论，盛昭瀚，东南大学出版社；3.随机过程，伊曼纽尔、帕尔逊著，邓永录、杨振业译，高等教育出版社；4.随机过程，SheldonM[1].Ross著。第一章预备知识简要回顾一下概率论中与本课程有关的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率、随机变量、概率分布、数字特征等。一、基本概念试验结果事先不能准确预言，三个特征:可以在相同条件下重复进行；每次试验结果不止一个，可预先知道试验所有可能结果；每次试验前不能确定那个结果会出现。样本空间随机试验所有可能结果组成的集合，记

2、为Ω随机事件样本空间Ω的子集A称为随机事件，用A、B、C表示§1.1概率空间随机试验注：由于事件是集合，故集合的运算（并、交、差、上极限、下极限、极限等）都适用于事件。称为必然事件，W样本空间也是一个事件，W空集称为不可能事件。F注：所谓某个事件在试验中是否出现，当且仅当该事件所包含的某个样本点是否出现，因此一个事件实际上对应于的一个确定的子集。事件的概率论运算Ω子集的集合论运算。在实际问题中，并不是对所有的事件：（样本空间Ω的所有子集）都感兴趣，而是关心某些事件（Ω的某些子集）及其发生的可能性大小（概率）。为了数学上处理方便，我们常要求这些子集组成的类具有一些基本

3、性质（即对事件需加一些约束）代数（事件族）二、定义1.1设样本空间的某些子集构成的集合记为F，如果F满足下列性质：F中的元素称为事件。则称F为代数（Bord事件域），称为可测空间例如，包含A的最大的代数是的一切子集组成的集类对于某个事件A包含它的代数不是唯一的而包含A的最小的代数则是：注：F（Ω）表示由Ω的子集全体构成的集合类，显然满足上述定义的（1）~（3），但这个族常常显得太大以致对于某些样本空间而言不可以在这样的族上定义满足三条公理的概率函数。为了建立概率的数学理论通常只需把事件族取为具有定义（１）～（３）中并包含了我们感兴趣的所有集合的的最小子集族。三、概率

4、的公理化定义为了完成随机现象的数学描述，还要规定随机事件族Ｆ上的概率函数即对Ｆ中的每个事件Ａ要定义一个称作为的概率的数，作为事件A的函数必须假定满足三条公理。非负性；规范性；两两互不相容，即有则称P为（Ω，F）上的概率，（Ω，F，P）称为概率空间，P（A）为事件A的概率。定义1.2：设（Ω，F）是可测空间，是定义在F上的实值函数，如果满足由此定义出发，可推出概率的其它一些性质：即概率具有单调性；新事件：连续性定理条件概率在事件B已发生这一条件下，事件A发生的概率。全概率公式若有N个互斥事件Bn（n=1,2,…,N），它的并集等于整个样本空间，则四、几个重要公式加法公

5、式设事件B1，B2，…，Bn构成一个完备事件组，概率P(Bi)>0,i=1,2,……,n,对于任何一个事件A，若P(A)>0,有贝叶斯公式独立事件独立事件族：设（Ω，F，P）是概率空间，如果对任意有则称Y为独立事件族。§1.2随机变量及其分布一、一维随机变量及其分布函数由于数学分析不能直接利用来研究集合函数，这样影响对随机现象的研究。解决这个问题的方法，主要是设法在集合函数与数学分析中所研究的点函数间建立某种联系，从而能用数学分析去研究随机现象。X(e)就是一个函数，它把样本点映射到实数轴上，随机变量就是从原样本空间Ω到新样本空间的一种映射，我们通常把这样一种对应关

6、系称之为在概率空间上的一个随机变量。下面我们给出随机变量的数学定义。定义1.4：设（Ω，F，P）是概率空间，X=X(e)是定义在Ω上的实函数，如果对任意实数x，{e:X(e)≤x}∈F，则称X(e)是F上的随机变量。事件随机变量离散型随机变量：只取有限个数值或可列无穷多个值。连续型随机变量：从原样本空间到新样本空间的映射是某一个范围，是一段（或几段）实线（也可能是整个坐标轴），随机变量可以取值于某一区间中的任一数。分布函数（一个描述随机变量取值的概率分布情况的统一方法）离散型随机变量X的概率分布用分布律描述：离散型随机变量的概率分布用分布列描述0－1分布二项分布泊松

7、分布连续型随机变量的概率分布用概率密度描述均匀分布正态分布指数分布随机变量函数的分布在给定某任意的随机变量X，以及它的概率分布函数FX(x)，希望进一步求出给定的随机变量的某些可测函数（如Y=g(X)）的概率分布函数。非线性放大器YXY的概率分布函数公式为如果上式右端概率的导数对于y处处存在，那么这个导数就给出了随机变量Y的概率密度二、n维随机变量及其分布函数定义1.5设（Ω，F，P）是概率空间，X=X(e)＝（X1(e),…,Xn(e)）是定义在Ω上的n维空间Rn中取值的向量函数。如果对于任意x=(x1,…,xn)∈Rn，{e:X1(e)≤x1,…,Xn(e)