函数解答题-基础

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1、函数解答题-基础例1(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))设/(^)=tz(x-5)2+61nx,中°w7?,曲线y=/(兀)在点(1,/(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).(I)确定a的值；(2)求函数/(兀)的单调区间与极值.【答案】解：⑴因Ax)=a(x-5)2+6lnx,故/(x)=2c心_5)+殳令x=l,得夬1)=16°,/(l)=6-8a,所以曲线y=/(x)在点(1,貳1))处的切线方程为y-16«=(6-8«)(x-l),由点(0,6)在切线上可得6—16a=8a—6

2、,故u—2"⑵山⑴知，f{x)=

3、(x-5)2+61nx(x>0),6(x—2)(x—3)fM=x-5+-=，令/(x)=0,解得兀1=2,兀2=3・当0CxV2或x>3时，/(x)>0,故/⑴在(0,2),(3,+^)上为增函数；当2

4、,/(0))处切线方程为y=4x+4.(I)求仪小的值；(II)讨论f(x)的单调性，并求/(%)的极人值.【答案】(1)fx)=eax+a+h)-2x-4.由已知衛(0)=4,f(0)=4,故b=4,°+方=&从而a=b=4;(II)由(I)知，fCx)=Aex(x+)~x1-4x,/*(%)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(k—*).令fx)=0得，x=-ln2或x=・2.从而当兀w(-00,-2)U(-ln2,+oo)时，f1(x)>0;当兀g(-2,-1/?2)时，/'(x)<0.故于(兀)在

5、(-oo,-2),52,+oo)单调递增,在(-2,-ln2)单调递减.当兀=・2时，函数/（兀）取得极大值，极大值为/（・2）=4（1T）例3（2012高考真题安徽理19）（木小题满分13分）设f（x）=aex+—+b（a>0）.aex（I）求.f（x）在［0,+8）上的最小值；3（II）设曲线y=/（x）在点（2,/（2））的切线方程为y=-x；求d,"的值。【答案】解：（I）设t=ex（t>）贝ijy=ath^>yf=aat"at①当a>1时，y'〉0=>y=at+—+h在fAl上是增函数，at得：当r=l(x

6、=0)ut,f(x)的最小值为d+丄+几a②当0vc/vl时，『=加+丄+/7>2+/?,•at当且仅当of=(t=ex=—,x=-a)时,f(x)的最小值为b+2。a(II)f(x)=aex+^—+/?=>fx)=aex———,肿+丄+b=3ae^322b=-2aexaex几2）=3由题意得：t3O<广⑵飞例4（2012高考真题重庆理16）（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分.）13设f（x）=alnx+——+—x+1,其中awR，曲线y=/（x）在点（1,/（1））处的切线垂直2x2于y轴

7、.（I）求。的值；（II）求函数/（X）的极值.13【答案】解：（1）因兀）=aIn兀+杰+尹+1,故f«=r2?+l-由于曲线y=f(x)在点(1,几1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0,即f(1)=0,从而=0,解得1.⑵由⑴知/⑴=-1心+±+*+1(兀>0),113f

8、(因兀2=-+不在定义域内，舍去).当兀€(0,1)时，f(x)<0,故冗X)在(0,1)上为减函数；当兀€(1,+8)时，f(x)>

9、0,故/(x)在(1,+8)上为增函数.故代方在x=l处取得极小值f(l)=3,无极人值.例5(2012高考重庆文17)(本小题满分13分)己知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16(1)求a、b的值;(2)若/(兀)有极大值28,求/(兀)在［-3,3］上的最小值.【解析】(I)因/(x)=ax3+bx+c故fx)=^ax2+/?由于/(%)在点x=2处取得极值故有广⑵=0/⑵二c—1612a+b=08d+2b+c=c-16,化简得严"+I解得]a=1[4a+b=-8[h=-l2(II)由(I)

10、知/(x)=x3-12x+c,ff(x)=3x2-12令广(x)=0，得画=-2,兀2=2当xw(—00,—2)时,fx)>0故/⑴在(-oo,-2)上为增函数；当XG(-2,2)时,fx)<0故于W在(-2,2)上为减函数当xe(2,+oo)时ff(x)>0,故/(x)在(2,+oo)上为增函数。由此可知/(%)在壬=一2处