随机过程基础3

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1、§5积分§5.1可测函数（随机变量）设（fl,H）是-•个测度空间。1,如果QwA;0,如果69纟A,称为集合A的示性函数.定义1设他小是n上的西数（这里3表示变量）。如果区说仅有有限个函数值，则称K⑹是“上的简单函数。设代是fl上的简单函数，他小的取值为a2＞•«,a„,令/（69）=工4厶（0）.简单函数是示性两数的线性纽合.定理1任何非负函数/⑺）都存在一列简单函数£Q）/=1,2,L，使得⑴.九（劲5九+2）屮=1,2丄;⑵1叽》九（"）=/（"）・设f（＜心是（1上的简单函数，广（e）=＜

2、/@）,如果/*（0）＞0;0,如果W，称为血0的正部,r（^）=0,如果/⑺）＞0;/（◎，如果门劲50,显然g=厂⑺）-广@）,Ig="）+广⑺）・定义2设(E易是一个可测空问，Q到E中的映射f:QtE称为傍3可测的.如果对于任意的原象",记作/G傍6如果(£,=(氐％(R)),则称f是(Q罗)上的可测函数.简称可测函数或•歹可测函数.(£.^)=(瓦劣徳))，则称/是g•歹)上的广义可测函数.简称广义可测函数或广义•夕可测函数•・如果E是祐扑空间，(£%(£))上的可測函数统称为E上的波雷尔

3、可测函数.欧式空间上的连续函数一定是BorelnJ测函数，初等函数也一定是Borel可测函数.定理2设/：QtR是Q上的函数.则下面的条件等价:(1)f是可测函数；(2)对于任意的aeR,a])e侈;(3)对于任意的eR,/a))e耶;(4)对于任意的tzeR,广〔((a,oo))e侈;(3)对于任意的67eR,oo))e•炙命题i没/(X)和g(x)是g乡)上的两个可测函数，则/(X)+g(x)和/(x)-g(x)也是(Q,乡)上的可测函数•命题2设/(x)和g(x)是(Q,歹)上的两个可测函数，

4、则/(x)g(x),/(x)/g(x)(g(x)H0)也是(0乡)上的可测函数.命题3设办(x).n=1,2■…•是。上的一列可测函数，则(/)supfn(x)和inffn(x)是广义可测函数;//畀(2)limsup/；/.¥)和liminf办(x)是广义可测函数;limsupfn(x)=liminffn(x)}e•夕.>2舁TOO(3)N定理3任何非负可测函数/⑺)都存在一列简单可测函数•九S)/=12L，使得(1)fn(^)

5、定理4(Doob)设(fl.歹)■(£.

6、尔可测函数.欧式空间上的连续函数一定是BorelnJ测函数，初等函数也一定是Borel可测函数.定理2设/：QtR是Q上的函数.则下面的条件等价:(1)f是可测函数；(2)对于任意的aeR,a])e侈;(3)对于任意的eR,/a))e耶;(4)对于任意的tzeR,广〔((a,oo))e侈;(3)对于任意的67eR,oo))e•炙命题i没/(X)和g(x)是g乡)上的两个可测函数，则/(X)+g(x)和/(x)-g(x)也是(Q,乡)上的可测函数•命题2设/(x)和g(x)是(Q,歹)上的两个可测函数

7、，则/(x)g(x),/(x)/g(x)(g(x)H0)也是(0乡)上的可测函数.命题3设办(x).n=1,2■…•是。上的一列可测函数，则(/)supfn(x)和inffn(x)是广义可测函数;//畀(2)limsup/；/.¥)和liminf办(x)是广义可测函数;limsupfn(x)=liminffn(x)}e•夕.>2舁TOO(3)N定理3任何非负可测函数/⑺)都存在一列简单可测函数•九S)/=12L，使得(1)fn(^)

8、.定理4(Doob)设(fl.歹)■(£.f(x))并且linifn(x)=/(x),