函数极限和连续知识梳理

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1、知识梳理·知识梳理知识梳理·第一节：函数·第二节：函数极限与连续·第三节：数列极限2.1函数极限内容网络图  内容提要与释疑解难2.2内容提要与释疑解难一、函数极限的概念1.。2.把1中“”换成“”。3．把1中“”换成“”。定理且4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A，，都有。5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成6.设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数，当时，都有。此时也可用或表示右极限。因此可写成。定理 且该定理是求分界点两侧表达式不同的分段

2、函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。7．时，都有。此时称时，是无穷大量。而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。8.。当时，都有。读者同理可给出定义。注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。定理 。其中。10．若时，都有，称时是有界量。 二、

3、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系设，（这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思）（1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作。（2）若，称时是的同价无穷小量。（3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。（4）若，称时是的k阶无穷小量。由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入若。记作，如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如果既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。例如 ，则。注：A不能为零，若A=0，不可能和0等价。无穷小量的性质：1

4、．若均为无穷小量，则（i）其中均为常数。（ii）。2．若时是有界量，，则。无穷大量的性质：1．有限个无穷大量之积仍是无穷大量。2．有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。无穷小量与无穷大量之间的关系：若；若。 三、函数连续的概念。定义1 若处连续。用语言可写为定义 设的某邻域内有定义，若时，都有，称连续。用函数值增量形式可写为定义 若，称在处连续。若,称处左连续。若称处右连续。定理处连续处既是左连续又是右连续。如果处不连续，称为的间断点。间断点的分类：（1）若点。若为函数的可去间断点，只须补充定义或改变函数在该点连续。但须注

5、意，这时函数与已经不是同一个函数但仅在处不同，在其它点相同。我们正是利用这一性质去构造一个新的函数，使在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。当时，也具有这种性质。而时，，所以在的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的。例如 ，但则在处连续，但与定义域不同，虽然，又如知。设则在处连续，虽然与定义域相同，但在处，两个函数值不同，知与不是同一函数，但仅在不同，其余点函数值处处相同。（2）若但，称为的跳跃间断点，称的跳跃度。（1）（2）两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。（3）若处，左、右极限至少有一个

6、不存在，我们称。若，我们也称为的无穷型间断点，属于第二类间断点。 四、函数极限的性质在下述六种类型的函数极限：（1）    （2）    （3）   （4） （4）    （6）它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以为例，其它类型极限的相应性质的叙述只要作适当修改就可以了。性质1（唯一性）若极限存在，则它只有一个极限。性质2（局部有界性）若极限存在，则存在的某空心邻域，使在内有界。注意：存在，只能得出在的某邻域内有界，得不出在其定义域内有界。性质3 若，则存在的某空心邻域，使时，都有。性质4（局部保号性）若，则对任

7、何常数，存在的某空心邻域，使得对一切，都有 成立。性质5（不等式）若，且存在的某空心邻域，使得对一切，都有。性质6（复合函数的极限）若，且存在的某空心邻域，当时，，则。性质6是求极限的一个重要方法——变量替换法，即。性质7（函数极限的四则运算）若均存在，则函数（1）；（2）；（3）；又若在时的极限也存在，且有（4）。利用极限的四则运算，可得下列重要结果。上面的结论可作为公式用。性质8（归结原则或海涅（Heine）定理）存在的充要条件是：都存在且相等。逆否定理若存在两个数列==且或存在不存在，则不存在。此定理是判断函数极

8、限不存在的一个重要方法。 五、函数连续的性质若函数处连续，即，利用极限的性质1-5可得到函数在连续的局部有界性，局部保号性，不等式等，只要把即可，读者自己叙述出来。利用极限的四则运算，我们有性质1（连续函数的四则运算）若处连续，则。性质2 若处连续，则处也连续且在满足性质2的条件下，极限符号与外函数可交换顺序，如果仅要可交换顺序，